Страница 237 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

711. 1) $\begin{cases} (x + 3)(y + 5) = (x + 1)(y + 8) \\ (2x - 3)(5y + 7) = 2(5x - 6)(y + 1) \end{cases}$

2) $\begin{cases} (x + 5)(y - 2) = (x + 2)(y - 1) \\ (x - 4)(y + 7) = (x - 3)(y + 4) \end{cases}$

3) $\begin{cases} (x + 4)(6 - y) = (x + 2)(9 - y) \\ (2x - 1)(12 - 5y) = 2(5x - 1)(2 - y) \end{cases}$

1) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} (x + 3)(y + 5) = (x + 1)(y + 8) \\ (2x - 3)(5y + 7) = 2(5x - 6)(y + 1) \end{cases} $

Сначала упростим каждое уравнение, раскрыв скобки.

Первое уравнение:

$(x + 3)(y + 5) = (x + 1)(y + 8)$

$xy + 5x + 3y + 15 = xy + 8x + y + 8$

Сократим $xy$ в обеих частях и приведем подобные слагаемые:

$5x + 3y + 15 = 8x + y + 8$

$3y - y = 8x - 5x + 8 - 15$

$2y = 3x - 7$

Второе уравнение:

$(2x - 3)(5y + 7) = 2(5x - 6)(y + 1)$

$10xy + 14x - 15y - 21 = 2(5xy + 5x - 6y - 6)$

$10xy + 14x - 15y - 21 = 10xy + 10x - 12y - 12$

Сократим $10xy$ в обеих частях и приведем подобные слагаемые:

$14x - 10x - 15y + 12y = -12 + 21$

$4x - 3y = 9$

Теперь мы имеем систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} 2y = 3x - 7 \\ 4x - 3y = 9 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y = \frac{3x - 7}{2}$ и подставим во второе:

$4x - 3\left(\frac{3x - 7}{2}\right) = 9$

Умножим все уравнение на 2:

$8x - 3(3x - 7) = 18$

$8x - 9x + 21 = 18$

$-x = 18 - 21$

$-x = -3 \implies x = 3$

Подставим значение $x$ в выражение для $y$:

$y = \frac{3(3) - 7}{2} = \frac{9 - 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: $(3; 1)$.

2) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} (x + 5)(y - 2) = (x + 2)(y - 1) \\ (x - 4)(y + 7) = (x - 3)(y + 4) \end{cases} $

Упростим каждое уравнение, раскрыв скобки.

Первое уравнение:

$(x + 5)(y - 2) = (x + 2)(y - 1)$

$xy - 2x + 5y - 10 = xy - x + 2y - 2$

Сократим $xy$ и приведем подобные слагаемые:

$-2x + 5y - 10 = -x + 2y - 2$

$-2x + x + 5y - 2y = 10 - 2$

$-x + 3y = 8$

Второе уравнение:

$(x - 4)(y + 7) = (x - 3)(y + 4)$

$xy + 7x - 4y - 28 = xy + 4x - 3y - 12$

Сократим $xy$ и приведем подобные слагаемые:

$7x - 4x - 4y + 3y = 28 - 12$

$3x - y = 16$

Получили систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} -x + 3y = 8 \\ 3x - y = 16 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y = 3x - 16$ и подставим в первое:

$-x + 3(3x - 16) = 8$

$-x + 9x - 48 = 8$

$8x = 56$

$x = 7$

Теперь найдем $y$:

$y = 3(7) - 16 = 21 - 16 = 5$

Ответ: $(7; 5)$.

3) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} (x + 4)(6 - y) = (x + 2)(9 - y) \\ (2x - 1)(12 - 5y) = 2(5x - 1)(2 - y) \end{cases} $

Упростим каждое уравнение.

Первое уравнение:

$(x + 4)(6 - y) = (x + 2)(9 - y)$

$6x - xy + 24 - 4y = 9x - xy + 18 - 2y$

Сократим $-xy$ и приведем подобные слагаемые:

$24 - 18 = 9x - 6x - 2y + 4y$

$6 = 3x + 2y$ или $3x + 2y = 6$

Второе уравнение:

$(2x - 1)(12 - 5y) = 2(5x - 1)(2 - y)$

$24x - 10xy - 12 + 5y = 2(10x - 5xy - 2 + y)$

$24x - 10xy - 12 + 5y = 20x - 10xy - 4 + 2y$

Сократим $-10xy$ и приведем подобные слагаемые:

$24x - 20x + 5y - 2y = -4 + 12$

$4x + 3y = 8$

Получили систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 2y = 6 \\ 4x + 3y = 8 \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2:

$ \begin{cases} 9x + 6y = 18 \\ -8x - 6y = -16 \end{cases} $

Сложим уравнения:

$(9x + 6y) + (-8x - 6y) = 18 - 16$

$x = 2$

Подставим $x = 2$ в первое уравнение ($3x + 2y = 6$):

$3(2) + 2y = 6$

$6 + 2y = 6$

$2y = 0 \implies y = 0$

Ответ: $(2; 0)$.