Страница 243 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

719. Показать, что система уравнений имеет бесконечно много решений:

1) $\begin{cases} x + y = 0, \\ 2x + 2y = 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - y = 3, \\ 2x - 2y = 6. \end{cases}$

Чтобы показать, что система уравнений имеет бесконечно много решений, нужно доказать, что уравнения в системе являются зависимыми, то есть одно уравнение можно получить из другого путем умножения или деления на число. Геометрически это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую.

1) Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 0, \\ 2x + 2y = 0; \end{cases} $

Заметим, что второе уравнение можно получить, умножив первое уравнение на 2:

$2 \cdot (x + y) = 2 \cdot 0$

$2x + 2y = 0$

Поскольку второе уравнение является следствием первого, система фактически сводится к одному уравнению с двумя переменными: $x + y = 0$.

Такое уравнение имеет бесконечное множество решений. Мы можем выразить одну переменную через другую, например, $y = -x$. Теперь, выбирая любое значение для $x$, мы можем найти соответствующее ему значение $y$. Например:

• если $x = 1$, то $y = -1$. Решение: $(1, -1)$.
• если $x = -5$, то $y = 5$. Решение: $(-5, 5)$.
• если $x = 0$, то $y = 0$. Решение: $(0, 0)$.

Так как мы можем выбрать бесконечно много значений для $x$, система имеет бесконечно много решений.

Ответ: система имеет бесконечно много решений, так как второе уравнение получается из первого умножением на 2, то есть уравнения равносильны и описывают одну и ту же прямую.

2) Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 3, \\ 2x - 2y = 6. \end{cases} $

Разделим обе части второго уравнения на 2:

$(2x - 2y) : 2 = 6 : 2$

$x - y = 3$

После преобразования мы получили уравнение, которое в точности совпадает с первым уравнением системы. Это означает, что уравнения зависимы и описывают одну и ту же прямую на координатной плоскости. Любая точка этой прямой является решением системы.

Выразим $x$ из уравнения $x - y = 3$:

$x = y + 3$

Подставляя любое значение для $y$, мы найдем соответствующее значение $x$. Например:

• если $y = 0$, то $x = 3$. Решение: $(3, 0)$.
• если $y = 1$, то $x = 4$. Решение: $(4, 1)$.
• если $y = -2$, то $x = 1$. Решение: $(1, -2)$.

Поскольку существует бесконечное множество значений, которые может принимать $y$, система имеет бесконечно много решений.

Ответ: система имеет бесконечно много решений, так как второе уравнение является следствием первого (получается умножением на 2), и оба уравнения описывают одну и ту же прямую.

720. Показать графически, что система уравнений имеет единственное решение:

1) $\begin{cases} 2x + 3y = 13, \\ 3x - y = 13; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x + y = 7, \\ x - 2y = 1. \end{cases}$

1)

Чтобы графически показать, что система уравнений имеет единственное решение, необходимо построить графики каждого уравнения и убедиться, что они пересекаются в одной-единственной точке.

$$ \begin{cases} 2x + 3y = 13 \\ 3x - y = 13 \end{cases} $$

Каждое уравнение в системе является линейным, его график — прямая. Для построения каждой прямой найдем по две точки.

Для первого уравнения $2x + 3y = 13$:

• Если $x=2$, то $2(2) + 3y = 13 \Rightarrow 4 + 3y = 13 \Rightarrow 3y = 9 \Rightarrow y = 3$. Точка $(2, 3)$.
• Если $x=5$, то $2(5) + 3y = 13 \Rightarrow 10 + 3y = 13 \Rightarrow 3y = 3 \Rightarrow y = 1$. Точка $(5, 1)$.

Для второго уравнения $3x - y = 13$:

• Если $x=4$, то $3(4) - y = 13 \Rightarrow 12 - y = 13 \Rightarrow y = -1$. Точка $(4, -1)$.
• Если $x=5$, то $3(5) - y = 13 \Rightarrow 15 - y = 13 \Rightarrow y = 2$. Точка $(5, 2)$.

Построим графики этих прямых на координатной плоскости. Прямая $2x + 3y = 13$ проходит через точки $(2, 3)$ и $(5, 1)$. Прямая $3x - y = 13$ проходит через точки $(4, -1)$ и $(5, 2)$.

Чтобы доказать, что прямые пересекаются и не являются параллельными, сравним их угловые коэффициенты. Для этого выразим $y$ в каждом уравнении (приведем к виду $y = kx + b$):

• $2x + 3y = 13 \Rightarrow 3y = -2x + 13 \Rightarrow y = -\frac{2}{3}x + \frac{13}{3}$. Угловой коэффициент $k_1 = -\frac{2}{3}$.
• $3x - y = 13 \Rightarrow y = 3x - 13$. Угловой коэффициент $k_2 = 3$.

Поскольку угловые коэффициенты $k_1$ и $k_2$ не равны, прямые не параллельны, а значит, они пересекаются ровно в одной точке. Наличие одной точки пересечения означает, что система уравнений имеет единственное решение.

Ответ: Графики уравнений системы являются прямыми линиями с разными угловыми коэффициентами ($k_1 = -2/3$ и $k_2 = 3$). Следовательно, они пересекаются в одной точке, что доказывает наличие единственного решения у системы.

2)

Рассмотрим систему:

$$ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 2y = 1 \end{cases} $$

Как и в предыдущем случае, нам нужно построить графики уравнений и показать, что они имеют одну общую точку.

Для первого уравнения $2x + y = 7$ найдем две точки:

• Если $x=2$, то $2(2) + y = 7 \Rightarrow 4 + y = 7 \Rightarrow y = 3$. Точка $(2, 3)$.
• Если $x=3$, то $2(3) + y = 7 \Rightarrow 6 + y = 7 \Rightarrow y = 1$. Точка $(3, 1)$.

Для второго уравнения $x - 2y = 1$ найдем две точки:

• Если $x=1$, то $1 - 2y = 1 \Rightarrow -2y = 0 \Rightarrow y = 0$. Точка $(1, 0)$.
• Если $x=3$, то $3 - 2y = 1 \Rightarrow -2y = -2 \Rightarrow y = 1$. Точка $(3, 1)$.

При построении графиков мы видим, что прямая $2x + y = 7$ проходит через точки $(2, 3)$ и $(3, 1)$, а прямая $x - 2y = 1$ — через точки $(1, 0)$ и $(3, 1)$.

Обе прямые проходят через точку $(3, 1)$, которая и является их точкой пересечения. Это единственная общая точка для двух несовпадающих прямых.

Также можно проверить угловые коэффициенты:

• $2x + y = 7 \Rightarrow y = -2x + 7$. Угловой коэффициент $k_1 = -2$.
• $x - 2y = 1 \Rightarrow 2y = x - 1 \Rightarrow y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$. Угловой коэффициент $k_2 = \frac{1}{2}$.

Так как $k_1 \neq k_2$, прямые пересекаются в одной точке.

Ответ: Графики уравнений системы являются прямыми, которые пересекаются в одной точке $(3, 1)$. Это показывает, что система имеет единственное решение.

721. Привести пример системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, решением которой являются координаты точки пересечения графика уравнения $4x + y = 7$ с осью $Ox$.

По условию задачи, нам необходимо привести пример системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Решением этой системы должны быть координаты точки пересечения графика уравнения $4x + y = 7$ с осью $Ox$.

Шаг 1: Нахождение координат точки пересечения.

График уравнения пересекает ось $Ox$ (ось абсцисс) в точке, где значение координаты $y$ равно нулю. Чтобы найти абсциссу ($x$) этой точки, подставим $y = 0$ в данное уравнение:

$4x + 0 = 7$

$4x = 7$

$x = \frac{7}{4}$

Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(\frac{7}{4}; 0)$.

Шаг 2: Составление системы уравнений.

Теперь нам нужно составить систему двух линейных уравнений, решением которой будет пара чисел $x = \frac{7}{4}$ и $y = 0$.

Первым уравнением системы может быть само исходное уравнение, так как его график проходит через найденную точку:

$4x + y = 7$

В качестве второго уравнения можно взять любое другое линейное уравнение, которое также имеет решение $x = \frac{7}{4}$ и $y = 0$. Самым простым и логичным выбором является уравнение оси $Ox$, которое мы использовали для нахождения точки:

$y = 0$

Объединив эти два уравнения, мы получаем пример искомой системы. Решением этой системы является точка пересечения прямых $4x + y = 7$ и $y = 0$, что в точности соответствует условию задачи.

Пример системы: $$ \begin{cases} 4x + y = 7 \\ y = 0 \end{cases} $$

Ответ: $\begin{cases} 4x + y = 7 \\ y = 0 \end{cases}$

722. Привести пример системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, решением которой являются координаты точки пересечения графика уравнения $5x - 7y = 1$ с осью $Ox$.

Для того чтобы составить требуемую систему уравнений, необходимо выполнить два шага: сначала найти координаты точки пересечения графика уравнения $5x - 7y = 1$ с осью $Ox$, а затем на основе этих координат составить систему.

1. Нахождение координат точки пересечения

Пересечение графика с осью абсцисс ($Ox$) происходит в точке, где ордината равна нулю, то есть $y = 0$. Чтобы найти абсциссу этой точки, подставим $y = 0$ в данное линейное уравнение:

$5x - 7 \cdot 0 = 1$

$5x = 1$

$x = \frac{1}{5}$

Таким образом, график уравнения $5x - 7y = 1$ пересекает ось $Ox$ в точке с координатами $(\frac{1}{5}; 0)$. Эта пара чисел и должна являться решением искомой системы.

2. Составление системы уравнений

Теперь нужно составить систему из двух линейных уравнений, решением которой будет пара $(x, y) = (\frac{1}{5}; 0)$.

Одно уравнение у нас уже есть — это само исходное уравнение, так как точка $(\frac{1}{5}; 0)$ лежит на его графике:

$5x - 7y = 1$

В качестве второго уравнения можно взять любое другое линейное уравнение, которое также истинно для пары $(\frac{1}{5}; 0)$. Самым простым вариантом является уравнение оси $Ox$, то есть $y = 0$. Это линейное уравнение, которое можно записать в общем виде как $0 \cdot x + 1 \cdot y = 0$.

Таким образом, мы можем составить следующую систему:

$$\begin{cases} 5x - 7y = 1, \\ y = 0.\end{cases}$$

Эта система полностью удовлетворяет условию задачи: она состоит из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, и её единственным решением является точка $(\frac{1}{5}; 0)$.

Ответ: Примером такой системы является:$$\begin{cases} 5x - 7y = 1, \\ y = 0.\end{cases}$$

723. Составить такое линейное уравнение с двумя неизвестными, чтобы оно вместе с уравнением $-x - y = 4$ образовало систему:

1) имеющую единственное решение;

2) имеющую бесконечно много решений;

3) не имеющую решений.

Для анализа системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными вида $$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$ используют соотношения их коэффициентов. Исходное уравнение: $-x - y = 4$. Здесь $a_1 = -1$, $b_1 = -1$, $c_1 = 4$. Нам нужно составить второе уравнение $a_2x + b_2y = c_2$ для каждого из трех случаев.

1) имеющую единственное решение;
Система имеет единственное решение, если отношение коэффициентов при переменных не равны, то есть выполняется условие $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$. Геометрически это означает, что прямые, соответствующие уравнениям, пересекаются в одной точке.
Подставим известные коэффициенты: $$ \frac{-1}{a_2} \neq \frac{-1}{b_2} $$ Это неравенство верно, если $a_2 \neq b_2$. Мы можем выбрать любые значения для $a_2$ и $b_2$, которые удовлетворяют этому условию, и абсолютно любое значение для $c_2$.
Например, выберем $a_2 = 1$, $b_2 = -1$ (поскольку $1 \neq -1$) и $c_2 = 0$. Получаем уравнение $x - y = 0$.
Проверим условие для системы: $$ \begin{cases} -x - y = 4 \\ x - y = 0 \end{cases} $$ $\frac{-1}{1} \neq \frac{-1}{-1}$, что эквивалентно $-1 \neq 1$. Условие выполнено, система имеет единственное решение.
Ответ: $x - y = 0$ (возможны и другие ответы, например, $x+2y=3$).

2) имеющую бесконечно много решений;
Система имеет бесконечно много решений, если коэффициенты при переменных и свободные члены пропорциональны: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$. Геометрически это означает, что прямые совпадают.
Для этого второе уравнение должно быть получено из первого умножением на некоторое число $k \neq 0$.
Возьмем исходное уравнение $-x - y = 4$ и умножим все его части, например, на $k=2$: $$ 2 \cdot (-x - y) = 2 \cdot 4 $$ $$ -2x - 2y = 8 $$ Проверим условие для системы: $$ \begin{cases} -x - y = 4 \\ -2x - 2y = 8 \end{cases} $$ $\frac{-1}{-2} = \frac{-1}{-2} = \frac{4}{8}$, что эквивалентно $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Условие выполнено.
Ответ: $-2x - 2y = 8$ (или любое уравнение вида $k(-x-y)=4k$ при $k \neq 0$, например, $x+y=-4$).

3) не имеющую решений.
Система не имеет решений, если коэффициенты при переменных пропорциональны, но это отношение не равно отношению свободных членов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$. Геометрически это означает, что прямые параллельны, но не совпадают.
Из условия $\frac{-1}{a_2} = \frac{-1}{b_2}$ следует, что $a_2=b_2$. Возьмем, например, $a_2 = -1$ и $b_2 = -1$.
Тогда левая часть второго уравнения будет такой же, как и у первого: $-x - y$.
Теперь нужно, чтобы свободные члены не удовлетворяли этой пропорции. Условие $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ при $a_1=-1, a_2=-1, c_1=4$ дает нам $\frac{-1}{-1} \neq \frac{4}{c_2}$, то есть $1 \neq \frac{4}{c_2}$, откуда $c_2 \neq 4$.
Выберем любое значение для $c_2$, не равное 4, например, $c_2 = 0$. Получаем уравнение $-x - y = 0$.
Проверим условие для системы: $$ \begin{cases} -x - y = 4 \\ -x - y = 0 \end{cases} $$ $\frac{-1}{-1} = \frac{-1}{-1} \neq \frac{4}{0}$. Условие $1=1$ выполнено, а $1 \neq \infty$ также верно. Система не имеет решений, так как выражение $-x-y$ не может одновременно равняться 4 и 0.
Ответ: $-x - y = 0$ (или любое уравнение вида $-x-y=c$, где $c \neq 4$, например, $x+y=5$).