Страница 241 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Что является графиком уравнения $ax + by = c$, если хотя бы одно из чисел $a$ или $b$ не равно нулю?

Уравнение $ax + by = c$ называется общим уравнением прямой на плоскости. Чтобы доказать, что его графиком действительно является прямая, рассмотрим все возможные случаи для коэффициентов $a$ и $b$, учитывая условие, что хотя бы один из них не равен нулю.

В этом случае оба коэффициента при переменных отличны от нуля. Мы можем выразить переменную $y$ через $x$:

$by = -ax + c$

Поскольку $b \ne 0$, разделим обе части уравнения на $b$:

$y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}$

Это уравнение вида $y = kx + m$, где $k = -\frac{a}{b}$ — угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой к оси Ox), а $m = \frac{c}{b}$ — ордината точки пересечения прямой с осью Oy. Данное уравнение является уравнением прямой с угловым коэффициентом. Такая прямая не параллельна осям координат.

Ответ: Графиком является наклонная прямая.

Подставим $b=0$ в исходное уравнение:

$ax + 0 \cdot y = c$

$ax = c$

Так как по условию этого случая $a \ne 0$, мы можем разделить обе части на $a$:

$x = \frac{c}{a}$

Это уравнение задает множество всех точек на координатной плоскости, у которых абсцисса (координата $x$) постоянна и равна $\frac{c}{a}$, в то время как ордината (координата $y$) может быть любой. Графиком такого уравнения является вертикальная прямая, параллельная оси Oy (или совпадающая с ней, если $c=0$).

Ответ: Графиком является вертикальная прямая.

Подставим $a=0$ в исходное уравнение:

$0 \cdot x + by = c$

$by = c$

Так как по условию этого случая $b \ne 0$, мы можем разделить обе части на $b$:

$y = \frac{c}{b}$

Это уравнение задает множество всех точек, у которых ордината (координата $y$) постоянна и равна $\frac{c}{b}$, а абсцисса (координата $x$) может быть любой. Графиком такого уравнения является горизонтальная прямая, параллельная оси Ox (или совпадающая с ней, если $c=0$).

Ответ: Графиком является горизонтальная прямая.

Таким образом, во всех рассмотренных случаях, которые охватывают все возможности при условии, что хотя бы одно из чисел $a$ или $b$ не равно нулю, графиком уравнения $ax + by = c$ является прямая.

Ответ: Графиком уравнения $ax + by = c$, если хотя бы одно из чисел $a$ или $b$ не равно нулю, является прямая.

2. Что значит решить графически систему уравнений?

Решить графически систему уравнений — это значит найти все её решения (или установить, что их нет) с помощью построения графиков функций, соответствующих каждому уравнению системы.

Суть метода заключается в следующем. Каждое уравнение с двумя переменными, например $x$ и $y$, можно представить в виде графика на координатной плоскости. График уравнения — это геометрическое место точек, координаты которых $(x; y)$ являются решением этого уравнения. Решением же системы уравнений является такая пара чисел $(x_0; y_0)$, которая одновременно удовлетворяет каждому уравнению системы.

Таким образом, если точка с координатами $(x_0; y_0)$ является решением системы, то она должна принадлежать графику каждого уравнения. Это означает, что искомые решения — это координаты точек пересечения графиков всех уравнений, входящих в систему.

Алгоритм графического решения следующий: необходимо построить в одной системе координат график для каждого уравнения системы, а затем найти координаты всех точек, в которых эти графики пересекаются. Координаты каждой точки пересечения и будут решением системы.

При графическом решении системы возможны три случая:
1. Графики пересекаются в одной или нескольких точках — система имеет одно или несколько решений.
2. Графики не пересекаются (например, являются параллельными прямыми) — система не имеет решений.
3. Графики полностью совпадают — система имеет бесконечное множество решений (решением является любая точка на этом совпадающем графике).

Например, для решения системы уравнений $ \begin{cases} y = x + 1 \\ y = -2x + 4 \end{cases} $ нужно построить графики функций $y = x + 1$ и $y = -2x + 4$. Это две прямые, которые пересекаются в точке с координатами $(1; 2)$. Эта пара чисел и является единственным решением системы.

Важно помнить, что этот метод имеет ограничение: он позволяет найти точное решение только в том случае, если координаты точек пересечения — целые или легко определяемые дробные числа. В остальных случаях метод дает лишь приблизительный результат и используется для визуализации количества решений.

Ответ: Решить графически систему уравнений — это построить в одной системе координат графики всех уравнений, входящих в систему, и найти координаты их точек пересечения. Координаты этих точек и являются решениями системы.

3. Какие существуют случаи взаимного расположения двух прямых на плоскости?

В евклидовой геометрии на плоскости существует три возможных случая взаимного расположения двух прямых. Эти случаи определяются количеством общих точек, которые имеют данные прямые.

1. Прямые пересекаются
Две прямые называются пересекающимися, если они имеют ровно одну общую точку. Эту точку называют точкой пересечения. Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, то они пересекаются в том и только в том случае, если их угловые коэффициенты не равны: $k_1 \neq k_2$. Для прямых, заданных общими уравнениями $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ и $a_2x + b_2y + c_2 = 0$, условием пересечения является непропорциональность коэффициентов при переменных $x$ и $y$: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$.
Ответ: Прямые имеют одну общую точку.

2. Прямые параллельны
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, то есть не имеют ни одной общей точки. Для прямых, заданных уравнениями $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, условием параллельности является равенство их угловых коэффициентов при неравенстве свободных членов: $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$. Для прямых, заданных общими уравнениями $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ и $a_2x + b_2y + c_2 = 0$, условие параллельности выражается как пропорциональность коэффициентов при переменных и их непропорциональность свободным членам: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$.
Ответ: Прямые не имеют общих точек.

3. Прямые совпадают
Это случай, когда прямые имеют бесконечно много общих точек. Фактически, это одна и та же прямая, которая может быть задана разными, но пропорциональными уравнениями. Для прямых, заданных уравнениями $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, условием совпадения является одновременное равенство и угловых коэффициентов, и свободных членов: $k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$. Для прямых в общем виде $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ и $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ условием совпадения является пропорциональность всех трех пар коэффициентов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.
Ответ: Прямые имеют бесконечно много общих точек.

4. Даны две прямые на координатной плоскости, причём каждая из них является графиком некоторого уравнения. Описать связь взаимного расположения прямых и числа решений системы соответствующих уравнений.

Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными — это пара чисел $(x; y)$, которая является решением каждого из уравнений системы. Графиком линейного уравнения с двумя переменными является прямая. Таким образом, геометрически решение системы уравнений — это координаты общей точки (или точек) графиков этих уравнений.

Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями вида $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, где $k$ — угловой коэффициент (отвечает за наклон прямой), а $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью OY. Существует три возможных случая взаимного расположения этих прямых на координатной плоскости, каждому из которых соответствует определенное число решений системы.

1. Прямые пересекаются
Две прямые на плоскости пересекаются в одной и только одной точке, если их угловые коэффициенты различны. Эта точка пересечения является общей для обеих прямых, и ее координаты $(x_0; y_0)$ удовлетворяют обоим уравнениям. Следовательно, система уравнений имеет единственное решение.
Условие: $k_1 \neq k_2$.
Число решений системы: одно.

Ответ: если прямые пересекаются, то система соответствующих уравнений имеет одно решение.

2. Прямые параллельны и не совпадают
Две прямые на плоскости параллельны, если их угловые коэффициенты равны, а точки пересечения с осью OY различны. Параллельные прямые не имеют общих точек, то есть не существует такой пары чисел $(x; y)$, которая удовлетворяла бы обоим уравнениям одновременно.
Условие: $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$.
Число решений системы: ноль (решений нет).

Ответ: если прямые параллельны и не совпадают, то система соответствующих уравнений не имеет решений.

3. Прямые совпадают
Если уравнения описывают одну и ту же прямую, это означает, что их угловые коэффициенты равны, и точки пересечения с осью OY также совпадают. В этом случае любая точка, принадлежащая первой прямой, также принадлежит и второй. Так как прямая состоит из бесконечного множества точек, то и общих точек у них бесконечно много.
Условие: $k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$.
Число решений системы: бесконечно много.

Ответ: если прямые совпадают, то система соответствующих уравнений имеет бесконечно много решений.

5. Привести пример системы двух линейных уравнений:

1) имеющей единственное решение;

2) не имеющей решений;

3) имеющей бесконечно много решений.

1) имеющей единственное решение:

Система двух линейных уравнений имеет единственное решение, если графики этих уравнений (которые являются прямыми линиями) пересекаются в одной-единственной точке. Это происходит в том случае, когда угловые коэффициенты этих прямых различны. Для системы уравнений, записанной в общем виде:

$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $

условием существования единственного решения является неравенство отношений коэффициентов при переменных: $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $.

Приведем пример такой системы:

$ \begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 4 \end{cases} $

Проверим соотношение коэффициентов: $ \frac{1}{2} \neq \frac{1}{-1} $. Условие выполняется. Чтобы найти это единственное решение, можно сложить два уравнения системы:

$(x + y) + (2x - y) = 5 + 4$

$3x = 9$

$x = 3$

Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение:

$3 + y = 5$

$y = 2$

Таким образом, система имеет единственное решение: пара чисел $(3, 2)$.

Ответ: $ \begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 4 \end{cases} $

2) не имеющей решений:

Система двух линейных уравнений не имеет решений, если графики уравнений (прямые) параллельны и не совпадают. Это означает, что у них одинаковые угловые коэффициенты, но разные точки пересечения с осью ординат. Для системы в общем виде это условие записывается как:

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $

Пример такой системы:

$ \begin{cases} x + 2y = 3 \\ x + 2y = 5 \end{cases} $

Здесь соотношения коэффициентов: $ \frac{1}{1} = \frac{2}{2} \neq \frac{3}{5} $. Левые части уравнений идентичны, а правые — различны. Это приводит к противоречию: невозможно, чтобы одно и то же выражение $x + 2y$ одновременно равнялось и 3, и 5. Следовательно, не существует такой пары $(x, y)$, которая бы удовлетворяла обоим уравнениям. Графически это две параллельные прямые, которые никогда не пересекаются.

Ответ: $ \begin{cases} x + 2y = 3 \\ x + 2y = 5 \end{cases} $

3) имеющей бесконечно много решений:

Система имеет бесконечно много решений, если графики уравнений (прямые) полностью совпадают. Это происходит, когда одно уравнение можно получить из другого путем умножения на некоторое число, не равное нулю. Все коэффициенты и свободные члены пропорциональны. Для системы в общем виде это условие выглядит так:

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $

Приведем пример:

$ \begin{cases} x - 2y = 1 \\ 3x - 6y = 3 \end{cases} $

Проверим соотношения коэффициентов: $ \frac{1}{3} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3} $. Все отношения равны. Второе уравнение системы получается из первого умножением на 3. Это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Любая точка, лежащая на этой прямой, является решением системы. Например, мы можем выразить $x$ через $y$ из первого уравнения: $x = 1 + 2y$. Подставляя любое значение $y$, мы будем получать соответствующее значение $x$, и таких пар $(x, y)$ бесконечно много (например, (1, 0), (3, 1), (-1, -1) и т.д.).

Ответ: $ \begin{cases} x - 2y = 1 \\ 3x - 6y = 3 \end{cases} $

1. Построить график функции:

1) $y = -2x + 0.5$;

2) $y = \frac{1}{2}x - 1.$

1) $y = -2x + 0,5$

Данная функция является линейной, её общий вид $y = kx + b$. Графиком линейной функции является прямая линия. Для построения прямой достаточно определить координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой.

Для нахождения координат точек выберем два произвольных значения аргумента $x$ и вычислим для них соответствующие значения функции $y$.

1. Пусть $x = 0$. Подставим это значение в уравнение:

$y = -2 \cdot 0 + 0,5 = 0,5$

Таким образом, первая точка имеет координаты $(0; 0,5)$. Эта точка является точкой пересечения графика с осью ординат ($Oy$).

2. Пусть $x = 1$. Подставим это значение в уравнение:

$y = -2 \cdot 1 + 0,5 = -2 + 0,5 = -1,5$

Таким образом, вторая точка имеет координаты $(1; -1,5)$.

Для построения графика необходимо нанести на координатную плоскость точки $(0; 0,5)$ и $(1; -1,5)$ и соединить их прямой линией. Эта линия и будет являться графиком функции $y = -2x + 0,5$.

Ответ: График функции $y = -2x + 0,5$ — это прямая, проходящая через точки с координатами $(0; 0,5)$ и $(1; -1,5)$.

2) $y = \frac{1}{2}x - 1$

Эта функция также является линейной ($y = kx + b$), и её графиком является прямая. Для построения графика найдем координаты двух точек.

1. Пусть $x = 0$. Подставим это значение в уравнение:

$y = \frac{1}{2} \cdot 0 - 1 = -1$

Первая точка имеет координаты $(0; -1)$. Это точка пересечения графика с осью $Oy$.

2. Для удобства вычислений выберем значение $x$, кратное 2. Пусть $x = 2$. Подставим это значение в уравнение:

$y = \frac{1}{2} \cdot 2 - 1 = 1 - 1 = 0$

Вторая точка имеет координаты $(2; 0)$. Это точка пересечения графика с осью абсцисс ($Ox$).

Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости точки $(0; -1)$ и $(2; 0)$ и провести через них прямую. Эта прямая и будет являться графиком функции $y = \frac{1}{2}x - 1$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{2}x - 1$ — это прямая, проходящая через точки с координатами $(0; -1)$ и $(2; 0)$.

2. Выразить у из уравнения:

1) $3y=5;$

2) $0,5y=-7;$

3) $9-2y=-3;$

4) $2x-y=1;$

5) $3x+y=2.$

Чтобы выразить переменную y из уравнения, необходимо выполнить алгебраические преобразования так, чтобы в левой части уравнения остался только y с коэффициентом 1, а в правой — все остальные члены.

Дано уравнение $3y=5$.

Здесь y умножается на 3. Чтобы найти y, нужно разделить обе части уравнения на 3.

$ \frac{3y}{3} = \frac{5}{3} $

В результате получаем:

$ y = \frac{5}{3} $

Ответ: $y = \frac{5}{3}$

Дано уравнение $0,5y=-7$.

Чтобы выразить y, разделим обе части уравнения на его коэффициент 0,5.

$ \frac{0,5y}{0,5} = \frac{-7}{0,5} $

Деление на 0,5 эквивалентно умножению на 2:

$ y = -7 \cdot 2 $

$ y = -14 $

Ответ: $y = -14$

Дано уравнение $9-2y=-3$.

Сначала изолируем член с y. Для этого перенесем 9 в правую часть, вычитая 9 из обеих частей уравнения.

$ 9 - 2y - 9 = -3 - 9 $

$ -2y = -12 $

Теперь разделим обе части на коэффициент при y, то есть на -2.

$ \frac{-2y}{-2} = \frac{-12}{-2} $

$ y = 6 $

Ответ: $y = 6$

Дано уравнение $2x-y=1$.

Чтобы выразить y, сначала перенесем $2x$ в правую часть уравнения.

$ 2x - y - 2x = 1 - 2x $

$ -y = 1 - 2x $

Мы получили выражение для $-y$. Чтобы найти y, умножим обе части уравнения на -1.

$ (-1) \cdot (-y) = (-1) \cdot (1 - 2x) $

$ y = -1 + 2x $

Для удобства можно поменять члены местами:

$ y = 2x - 1 $

Ответ: $y = 2x - 1$

Дано уравнение $3x+y=2$.

В этом уравнении y уже имеет коэффициент 1. Чтобы выразить y, достаточно перенести $3x$ в правую часть уравнения, вычитая $3x$ из обеих частей.

$ 3x + y - 3x = 2 - 3x $

$ y = 2 - 3x $

Ответ: $y = 2 - 3x$