Страница 247 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Записать выражение для нахождения:

1) расстояния (в километрах), пройденного пешеходом за 5 ч, если его скорость x км/ч;
$5x$

2) стоимости (в рублях) y тетрадей, если цена одной тетради 20 р.;
$20y$

3) времени (в часах), за которое лодка по течению реки преодолела расстояние x (в километрах), если собственная скорость лодки 7 км/ч, а скорость течения реки y км/ч;
$\frac{x}{7+y}$

4) цены (в рублях) товара после уценки его на 5%, если прежняя цена составляла x р.;
$0.95x$

5) производительности труда рабочего (в деталях за час), который 200 деталей изготовил за x ч;
$\frac{200}{x}$

6) производительности труда (в деталях за час) двух рабочих при совместной работе, если на изготовление 30 деталей первому рабочему требуется x ч, а второму — y ч.
$\frac{30}{x} + \frac{30}{y}$

1) расстояния (в километрах), пройденного пешеходом за 5 ч, если его скорость x км/ч;

Чтобы найти расстояние, необходимо умножить скорость на время. Расстояние ($S$) вычисляется по формуле $S = v \cdot t$, где $v$ — скорость, а $t$ — время.

По условию задачи, скорость пешехода $v = x$ км/ч, а время в пути $t = 5$ ч.

Подставляем значения в формулу: $S = x \cdot 5$.

Ответ: $5x$

2) стоимости (в рублях) y тетрадей, если цена одной тетради 20 р.;

Чтобы найти общую стоимость, необходимо цену одной единицы товара умножить на количество товара. Стоимость ($C$) вычисляется по формуле $C = P \cdot n$, где $P$ — цена, а $n$ — количество.

По условию, цена одной тетради $P = 20$ р., а количество тетрадей $n = y$.

Подставляем значения в формулу: $C = 20 \cdot y$.

Ответ: $20y$

3) времени (в часах), за которое лодка по течению реки преодолела расстояние x (в километрах), если собственная скорость лодки 7 км/ч, а скорость течения реки y км/ч;

Чтобы найти время, необходимо расстояние разделить на скорость. Время ($t$) вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

При движении по течению скорость лодки равна сумме ее собственной скорости и скорости течения. Собственная скорость лодки равна 7 км/ч, а скорость течения — $y$ км/ч. Значит, скорость лодки по течению $v = 7 + y$ км/ч.

Расстояние, которое нужно преодолеть, равно $S = x$ км.

Подставляем значения в формулу: $t = \frac{x}{7 + y}$.

Ответ: $\frac{x}{7+y}$

4) цены (в рублях) товара после уценки его на 5 %, если прежняя цена составляла x р.;

Первоначальная цена товара составляет $x$ р., что является 100%. Цена была снижена на 5%. Следовательно, новая цена составляет $100\% - 5\% = 95\%$ от первоначальной.

Чтобы найти новую цену, нужно первоначальную цену $x$ умножить на долю, которую составляет новая цена. $95\%$ в виде десятичной дроби — это $0.95$.

Новая цена = $x \cdot 0.95$.

Ответ: $0.95x$

5) производительности труда рабочего (в деталях за час), который 200 деталей изготовил за x ч;

Производительность труда ($P$) — это отношение объема выполненной работы ($A$) ко времени ($t$), затраченному на ее выполнение. Формула: $P = \frac{A}{t}$.

По условию, объем работы $A = 200$ деталей, а время выполнения $t = x$ ч.

Подставляем значения в формулу: $P = \frac{200}{x}$.

Ответ: $\frac{200}{x}$

6) производительности труда (в деталях за час) двух рабочих при совместной работе, если на изготовление 30 деталей первому рабочему требуется x ч, а второму — y ч.

Сначала определим производительность каждого рабочего в отдельности. Производительность ($P$) равна объему работы ($A$), деленному на время ($t$).

Производительность первого рабочего: $P_1 = \frac{30}{x}$ деталей в час.

Производительность второго рабочего: $P_2 = \frac{30}{y}$ деталей в час.

При совместной работе их производительности складываются. Общая производительность $P_{общ}$ равна сумме их индивидуальных производительностей: $P_{общ} = P_1 + P_2$.

Подставляем выражения для $P_1$ и $P_2$: $P_{общ} = \frac{30}{x} + \frac{30}{y}$.

Ответ: $\frac{30}{x} + \frac{30}{y}$

724. Ученик за 3 тетради и 2 карандаша уплатил 66 р. Другой ученик за такие же 2 тетради и 2 карандаша уплатил 46 р. Найти цену тетради и карандаша. Решить задачу двумя способами: арифметическим и с помощью системы уравнений.

арифметическим

1. Сравним две покупки. Первая покупка (3 тетради и 2 карандаша) отличается от второй (2 тетради и 2 карандаша) на одну тетрадь. Количество карандашей в обеих покупках одинаково.

2. Найдем разницу в стоимости двух покупок. Эта разница будет равна стоимости одной тетради:
$66 - 46 = 20$ (рублей) — цена одной тетради.

3. Теперь, зная цену тетради, можно найти цену карандаша. Возьмем вторую покупку: 2 тетради и 2 карандаша стоят 46 рублей. Найдем стоимость двух тетрадей:
$2 \cdot 20 = 40$ (рублей).

4. Вычтем стоимость двух тетрадей из общей стоимости второй покупки, чтобы найти стоимость двух карандашей:
$46 - 40 = 6$ (рублей).

5. Найдем цену одного карандаша:
$6 : 2 = 3$ (рубля).

Ответ: цена тетради — 20 рублей, цена карандаша — 3 рубля.

с помощью системы уравнений

Пусть $x$ — цена одной тетради в рублях, а $y$ — цена одного карандаша в рублях.

Согласно условию задачи, составим систему уравнений:
Первая покупка: $3x + 2y = 66$
Вторая покупка: $2x + 2y = 46$

Запишем это в виде системы:
$ \begin{cases} 3x + 2y = 66 \\ 2x + 2y = 46 \end{cases} $

Для решения системы удобно использовать метод вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:
$(3x + 2y) - (2x + 2y) = 66 - 46$
$3x - 2x + 2y - 2y = 20$
$x = 20$

Таким образом, цена одной тетради составляет 20 рублей.

Теперь подставим найденное значение $x$ в любое из уравнений, например, во второе ($2x + 2y = 46$), чтобы найти $y$:
$2 \cdot 20 + 2y = 46$
$40 + 2y = 46$
$2y = 46 - 40$
$2y = 6$
$y = 3$

Таким образом, цена одного карандаша составляет 3 рубля.

Ответ: цена тетради — 20 рублей, цена карандаша — 3 рубля.

725. Из 14 м ткани можно сшить 4 мужских и 2 детских пальто. Сколько метров ткани необходимо для пошива одного мужского и одного детского пальто, если из 15 м той же ткани можно сшить 2 мужских и 6 детских пальто?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ — это количество метров ткани, необходимое для пошива одного мужского пальто, а $y$ — количество метров ткани для одного детского пальто.

Согласно первому условию, из 14 м ткани можно сшить 4 мужских и 2 детских пальто. Это можно записать в виде уравнения:

$4x + 2y = 14$

Согласно второму условию, из 15 м той же ткани можно сшить 2 мужских и 6 детских пальто. Это дает нам второе уравнение:

$2x + 6y = 15$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$$\begin{cases}4x + 2y = 14 \\2x + 6y = 15\end{cases}$$

Упростим первое уравнение, разделив обе его части на 2:

$2x + y = 7$

Теперь наша система выглядит так:

$$\begin{cases}2x + y = 7 \\2x + 6y = 15\end{cases}$$

Для решения системы удобно использовать метод вычитания. Вычтем первое уравнение из второго:

$(2x + 6y) - (2x + y) = 15 - 7$

$5y = 8$

$y = \frac{8}{5} = 1.6$

Таким образом, на пошив одного детского пальто требуется 1,6 метра ткани.

Теперь найдем $x$, подставив значение $y = 1.6$ в упрощенное первое уравнение $2x + y = 7$:

$2x + 1.6 = 7$

$2x = 7 - 1.6$

$2x = 5.4$

$x = \frac{5.4}{2} = 2.7$

Следовательно, на пошив одного мужского пальто требуется 2,7 метра ткани.

Вопрос задачи состоит в том, сколько метров ткани необходимо для пошива одного мужского и одного детского пальто вместе. Для этого сложим найденные значения расхода ткани:

$x + y = 2.7 + 1.6 = 4.3$

Ответ: для пошива одного мужского и одного детского пальто необходимо 4,3 метра ткани.

726. Две бригады собрали вместе 1456 ц ржи. Первая бригада собрала рожь с 46 га, а вторая — с 35 га. Сколько центнеров собрала в среднем с 1 га каждая бригада в отдельности, если первая собрала с 1 га на 7 ц ржи больше, чем вторая?

Для решения этой задачи составим уравнение на основе предоставленных данных. Пусть $x$ — это средняя урожайность второй бригады, выраженная в центнерах с гектара (ц/га). По условию, первая бригада собирала с 1 гектара на 7 центнеров ржи больше, значит, ее средняя урожайность составляет $(x + 7)$ ц/га.

Зная площадь, обработанную каждой бригадой, мы можем выразить общее количество собранного ими урожая:

• Первая бригада собрала с 46 га: $46 \cdot (x + 7)$ центнеров.
• Вторая бригада собрала с 35 га: $35 \cdot x$ центнеров.

Суммарный урожай обеих бригад равен 1456 центнеров. Это позволяет нам составить следующее уравнение:

$46 \cdot (x + 7) + 35 \cdot x = 1456$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$.

1. Раскроем скобки в левой части уравнения:

$46x + 46 \cdot 7 + 35x = 1456$

$46x + 322 + 35x = 1456$

2. Сгруппируем члены, содержащие переменную $x$:

$(46 + 35)x + 322 = 1456$

$81x + 322 = 1456$

3. Перенесем свободный член (322) в правую часть уравнения:

$81x = 1456 - 322$

$81x = 1134$

4. Найдем $x$, разделив обе части на 81:

$x = \frac{1134}{81}$

$x = 14$

Таким образом, средняя урожайность второй бригады составляет 14 ц/га.

Теперь найдем среднюю урожайность первой бригады:

$x + 7 = 14 + 7 = 21$ ц/га.

Итак, первая бригада собирала в среднем 21 ц/га.

Проверим результат:
Урожай первой бригады: $21 \text{ ц/га} \times 46 \text{ га} = 966 \text{ ц}$.
Урожай второй бригады: $14 \text{ ц/га} \times 35 \text{ га} = 490 \text{ ц}$.
Общий урожай: $966 \text{ ц} + 490 \text{ ц} = 1456 \text{ ц}$.
Полученное значение совпадает с данными в условии задачи, значит, решение верное.

Ответ: первая бригада собрала в среднем 21 центнер ржи с 1 га, а вторая бригада — 14 центнеров с 1 га.

727. На платформу были погружены дубовые и сосновые брёвна, всего 300 брёвен. Известно, что все дубовые брёвна весили на 1 т меньше, чем все сосновые. Определить, сколько было дубовых и сосновых брёвен отдельно, если каждое бревно из дуба весит 46 кг, а каждое сосновое бревно — 28 кг.

Для решения этой задачи введём переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ — это количество дубовых брёвен, а $y$ — количество сосновых брёвен.

Согласно условию, всего на платформу погрузили 300 брёвен. На основе этого мы можем составить первое уравнение системы:
$x + y = 300$

Вес одного дубового бревна составляет 46 кг, следовательно, общая масса всех дубовых брёвен равна $46x$ кг. Вес одного соснового бревна — 28 кг, значит, общая масса всех сосновых брёвен равна $28y$ кг.

Также в условии сказано, что все дубовые брёвна весили на 1 тонну (то есть на 1000 кг) меньше, чем все сосновые. Это позволяет нам составить второе уравнение:
$28y - 46x = 1000$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 300 \\ 28y - 46x = 1000 \end{cases} $

Для решения системы выразим $y$ из первого уравнения:
$y = 300 - x$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение:
$28(300 - x) - 46x = 1000$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:
$8400 - 28x - 46x = 1000$
$8400 - 74x = 1000$
$74x = 8400 - 1000$
$74x = 7400$
$x = \frac{7400}{74}$
$x = 100$

Таким образом, количество дубовых брёвен равно 100.

Теперь найдём количество сосновых брёвен, подставив значение $x$ в выражение $y = 300 - x$:
$y = 300 - 100 = 200$

Количество сосновых брёвен равно 200.

Проверим правильность решения. Найдём общую массу брёвен каждого вида:
Масса дубовых брёвен: $100 \text{ бр.} \times 46 \text{ кг/бр.} = 4600$ кг.
Масса сосновых брёвен: $200 \text{ бр.} \times 28 \text{ кг/бр.} = 5600$ кг.
Разница в массе: $5600 \text{ кг} - 4600 \text{ кг} = 1000$ кг, что равно 1 тонне. Условия задачи выполнены.

Ответ: было 100 дубовых брёвен и 200 сосновых брёвен.

728. Двое рабочих изготовили вместе 1020 деталей. Первый рабочий работал 15 дней, а второй — 14 дней. Сколько деталей изготавливал каждый рабочий за один день, если первый рабочий за 3 дня изготавливал на 60 деталей больше, чем второй за 2 дня?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество деталей, которое первый рабочий изготавливает за один день, а $y$ — количество деталей, которое второй рабочий изготавливает за один день.

Составим систему уравнений исходя из условий задачи.

1. Первый рабочий работал 15 дней и изготовил $15x$ деталей. Второй рабочий работал 14 дней и изготовил $14y$ деталей. Вместе они изготовили 1020 деталей. Это дает нам первое уравнение:

$15x + 14y = 1020$

2. За 3 дня первый рабочий изготавливает $3x$ деталей, а второй за 2 дня — $2y$ деталей. По условию, первый рабочий за это время изготовил на 60 деталей больше. Это дает нам второе уравнение:

$3x - 2y = 60$

Решим полученную систему уравнений:

$$ \begin{cases} 15x + 14y = 1020 \\ 3x - 2y = 60 \end{cases} $$

Для решения системы воспользуемся методом алгебраического сложения. Умножим второе уравнение на 7, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными:

$7 \cdot (3x - 2y) = 7 \cdot 60$

$21x - 14y = 420$

Теперь сложим почленно первое уравнение и преобразованное второе уравнение:

$(15x + 14y) + (21x - 14y) = 1020 + 420$

$36x = 1440$

Найдем $x$:

$x = \frac{1440}{36} = 40$

Теперь, когда мы знаем производительность первого рабочего, подставим значение $x = 40$ во второе исходное уравнение ($3x - 2y = 60$), чтобы найти производительность второго рабочего $y$:

$3 \cdot 40 - 2y = 60$

$120 - 2y = 60$

$2y = 120 - 60$

$2y = 60$

$y = \frac{60}{2} = 30$

Таким образом, первый рабочий изготавливал 40 деталей в день, а второй — 30 деталей в день.

Проверка.

Общее количество деталей: $15 \cdot 40 + 14 \cdot 30 = 600 + 420 = 1020$. Верно.

Разница в производительности: $3 \cdot 40 - 2 \cdot 30 = 120 - 60 = 60$. Верно.

Ответ: Первый рабочий изготавливал 40 деталей в день, а второй рабочий — 30 деталей в день.