Страница 249 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

738. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке, на 54 больше данного числа. Найти это число.

Пусть искомое двузначное число имеет $x$ десятков и $y$ единиц. Тогда его можно представить в виде $10x + y$.

По условию задачи, сумма его цифр равна 12. Составим первое уравнение:

$x + y = 12$

Число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет иметь $y$ десятков и $x$ единиц, то есть его можно представить как $10y + x$.

По второму условию, это новое число на 54 больше исходного. Составим второе уравнение:

$(10y + x) - (10x + y) = 54$

Упростим второе уравнение:

$10y + x - 10x - y = 54$

$9y - 9x = 54$

Разделим обе части уравнения на 9:

$y - x = 6$

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x + y = 12 \\ y - x = 6 \end{cases}$

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить $x$:

$(x + y) + (y - x) = 12 + 6$

$2y = 18$

$y = 9$

Теперь подставим найденное значение $y$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:

$x + 9 = 12$

$x = 12 - 9$

$x = 3$

Итак, цифра десятков равна 3, а цифра единиц - 9. Следовательно, искомое число - это 39.

Проверим: сумма цифр $3 + 9 = 12$. Число, записанное в обратном порядке, - это 93. Разница между ними $93 - 39 = 54$. Условия выполняются.

Ответ: 39

739. Сумма цифр двузначного числа равна 12, а разность числа единиц и числа десятков в этом числе в 12 раз меньше самого числа. Найти это число.

Обозначим искомое двузначное число. Пусть $x$ — это цифра в разряде десятков, а $y$ — цифра в разряде единиц. Тогда само число можно записать в виде $10x + y$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

Первое условие: сумма цифр двузначного числа равна 12.

$x + y = 12$

Второе условие: разность числа единиц и числа десятков в этом числе в 12 раз меньше самого числа. Разность числа единиц и числа десятков — это $y - x$. Само число — это $10x + y$.

$y - x = \frac{10x + y}{12}$

Получаем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} x + y = 12 \\ y - x = \frac{10x + y}{12}\end{cases}$

Для решения системы выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 12 - x$

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$(12 - x) - x = \frac{10x + (12 - x)}{12}$

Упростим и решим полученное уравнение относительно $x$:

$12 - 2x = \frac{9x + 12}{12}$

Умножим обе части уравнения на 12, чтобы избавиться от дроби:

$12 \cdot (12 - 2x) = 9x + 12$

$144 - 24x = 9x + 12$

Перенесем все слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$144 - 12 = 9x + 24x$

$132 = 33x$

$x = \frac{132}{33}$

$x = 4$

Мы нашли цифру десятков. Теперь найдем цифру единиц, подставив значение $x$ в выражение $y = 12 - x$:

$y = 12 - 4 = 8$

Таким образом, искомое число состоит из цифры 4 (десятки) и 8 (единицы). Это число — 48.

Проверка:

1. Сумма цифр числа 48 равна $4 + 8 = 12$. Первое условие выполняется.

2. Разность числа единиц и числа десятков равна $8 - 4 = 4$. Само число равно 48. Проверим, меньше ли разность в 12 раз, чем число: $\frac{48}{12} = 4$. Второе условие выполняется.

Решение найдено верно.

Ответ: 48.

740. В три сосуда налита вода. Если половину воды из первого сосуда перелить во второй, затем $ \frac{1}{3} $ часть воды, оказавшейся во втором сосуде, перелить в третий и, наконец, $ \frac{1}{4} $ часть воды, оказавшейся в третьем сосуде, перелить в первый, то в каждом сосуде станет по 6 л. Сколько воды было в каждом сосуде до переливания?

Для решения этой задачи будем рассуждать с конца, выполняя все действия в обратном порядке.

В конечном итоге в каждом из трех сосудов оказалось по 6 литров воды. Общий объем воды во всех сосудах составляет $6 \times 3 = 18$ литров. Этот объем остается неизменным на протяжении всех переливаний.

1. Отмена последнего переливания (из третьего сосуда в первый).
Последним действием была перелита $\frac{1}{4}$ часть воды из третьего сосуда в первый. После этого в третьем сосуде осталось 6 л. Эти 6 л представляют собой оставшиеся $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ части воды. Следовательно, до этого переливания в третьем сосуде было $6 \div \frac{3}{4} = 6 \times \frac{4}{3} = 8$ литров.
Количество перелитой воды составляет $8 \times \frac{1}{4} = 2$ литра.
Эти 2 литра были добавлены в первый сосуд, после чего в нем стало 6 л. Значит, до этого переливания в первом сосуде было $6 - 2 = 4$ литра. Во втором сосуде объем воды не менялся.
Таким образом, перед последним переливанием в сосудах было: 4 л в первом, 6 л во втором и 8 л в третьем.

2. Отмена второго переливания (из второго сосуда в третий).
Перед этим из второго сосуда в третий перелили $\frac{1}{3}$ часть находившейся там воды. После этого во втором сосуде осталось 6 л, что составляет $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ от объема, который был в нем до этого. Значит, до второго переливания во втором сосуде было $6 \div \frac{2}{3} = 6 \times \frac{3}{2} = 9$ литров.
Количество перелитой воды составляет $9 \times \frac{1}{3} = 3$ литра.
Эти 3 литра были добавлены в третий сосуд, после чего в нем стало 8 л. Значит, до этого переливания в третьем сосуде было $8 - 3 = 5$ литров. В первом сосуде объем не менялся.
Таким образом, перед вторым переливанием в сосудах было: 4 л в первом, 9 л во втором и 5 л в третьем.

3. Отмена первого переливания (из первого сосуда во второй).
В самом начале из первого сосуда во второй перелили половину ($\frac{1}{2}$) воды. После этого в первом сосуде осталось 4 л, что составляет вторую половину. Следовательно, первоначально в первом сосуде было $4 \div \frac{1}{2} = 4 \times 2 = 8$ литров.
Количество перелитой воды составляет $8 \times \frac{1}{2} = 4$ литра.
Эти 4 литра были добавлены во второй сосуд, после чего в нем стало 9 л. Значит, первоначально во втором сосуде было $9 - 4 = 5$ литров. В третьем сосуде объем не менялся, и в нем изначально было 5 литров.

Итак, мы нашли первоначальное количество воды в каждом сосуде.
Проверим решение прямым счетом:
- Исходные объемы: 1-й: 8 л, 2-й: 5 л, 3-й: 5 л.
- Переливаем половину из первого во второй (4 л): 1-й: $8-4=4$ л; 2-й: $5+4=9$ л; 3-й: 5 л.
- Переливаем треть из второго в третий ($\frac{1}{3} \times 9=3$ л): 1-й: 4 л; 2-й: $9-3=6$ л; 3-й: $5+3=8$ л.
- Переливаем четверть из третьего в первый ($\frac{1}{4} \times 8=2$ л): 1-й: $4+2=6$ л; 2-й: 6 л; 3-й: $8-2=6$ л.
Все верно, в конце в каждом сосуде по 6 литров.

Ответ: первоначально в первом сосуде было 8 л воды, во втором — 5 л, в третьем — 5 л.

741. Пристань А находится между пристанями В и С, причём пристань В находится ниже других по течению реки. Маршрут от А до В и от В до С теплоход проходит за 9 ч 20 мин, а маршрут от С до В и от В до А — за 9 ч. Скорость теплохода относительно воды равна 20 км/ч, а скорость течения реки равна 4 км/ч. Найти расстояние между пристанями А и С.

Обозначим собственную скорость теплохода как $v_{с}$ и скорость течения реки как $v_{т}$.
По условию, $v_{с} = 20$ км/ч, $v_{т} = 4$ км/ч.

Скорость теплохода по течению реки (вниз по реке) равна сумме собственной скорости и скорости течения:
$v_{по~теч.} = v_{с} + v_{т} = 20 + 4 = 24$ км/ч.

Скорость теплохода против течения реки (вверх по реке) равна разности собственной скорости и скорости течения:
$v_{против~теч.} = v_{с} - v_{т} = 20 - 4 = 16$ км/ч.

Пристань А находится между В и С, а пристань В — ниже других по течению. Это означает, что течение реки направлено от С к А, а затем к В. Таким образом, расположение пристаней: С → А → В.

Пусть расстояние между пристанями А и С равно $x$ км, а расстояние между пристанями А и В равно $y$ км.

Рассмотрим первый маршрут: от А до В и от В до С. Общее время в пути — 9 ч 20 мин.
Переведем время в часы: 9 ч 20 мин = $9 + \frac{20}{60}$ ч = $9\frac{1}{3}$ ч = $\frac{28}{3}$ ч.
- Движение от А до В происходит по течению. Расстояние равно $y$ км, скорость $v_{по~теч.} = 24$ км/ч. Время в пути: $t_1 = \frac{y}{24}$ ч.
- Движение от В до С происходит против течения. Расстояние равно $y+x$ км, скорость $v_{против~теч.} = 16$ км/ч. Время в пути: $t_2 = \frac{y+x}{16}$ ч.
Составим первое уравнение:$$ \frac{y}{24} + \frac{y+x}{16} = \frac{28}{3} $$

Рассмотрим второй маршрут: от С до В и от В до А. Общее время в пути — 9 ч.
- Движение от С до В происходит по течению. Расстояние равно $x+y$ км, скорость $v_{по~теч.} = 24$ км/ч. Время в пути: $t_3 = \frac{x+y}{24}$ ч.
- Движение от В до А происходит против течения. Расстояние равно $y$ км, скорость $v_{против~теч.} = 16$ км/ч. Время в пути: $t_4 = \frac{y}{16}$ ч.
Составим второе уравнение:$$ \frac{x+y}{24} + \frac{y}{16} = 9 $$

Получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:$$ \begin{cases} \frac{y}{24} + \frac{x+y}{16} = \frac{28}{3} \\ \frac{x+y}{24} + \frac{y}{16} = 9 \end{cases} $$Умножим оба уравнения на 48 (наименьшее общее кратное для 24, 16 и 3), чтобы избавиться от дробей:$$ \begin{cases} 48 \cdot \frac{y}{24} + 48 \cdot \frac{x+y}{16} = 48 \cdot \frac{28}{3} \\ 48 \cdot \frac{x+y}{24} + 48 \cdot \frac{y}{16} = 48 \cdot 9 \end{cases} $$$$ \begin{cases} 2y + 3(x+y) = 16 \cdot 28 \\ 2(x+y) + 3y = 432 \end{cases} $$Раскроем скобки и упростим:$$ \begin{cases} 2y + 3x + 3y = 448 \\ 2x + 2y + 3y = 432 \end{cases} $$$$ \begin{cases} 3x + 5y = 448 \\ 2x + 5y = 432 \end{cases} $$Теперь решим систему. Удобнее всего вычесть второе уравнение из первого:$$ (3x + 5y) - (2x + 5y) = 448 - 432 $$$$ 3x - 2x + 5y - 5y = 16 $$$$ x = 16 $$Таким образом, расстояние между пристанями А и С равно 16 км.

Ответ: Расстояние между пристанями А и С равно 16 км.