Номер 741, страница 249 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

741. Пристань А находится между пристанями В и С, причём пристань В находится ниже других по течению реки. Маршрут от А до В и от В до С теплоход проходит за 9 ч 20 мин, а маршрут от С до В и от В до А — за 9 ч. Скорость теплохода относительно воды равна 20 км/ч, а скорость течения реки равна 4 км/ч. Найти расстояние между пристанями А и С.

Обозначим собственную скорость теплохода как $v_{с}$ и скорость течения реки как $v_{т}$.
По условию, $v_{с} = 20$ км/ч, $v_{т} = 4$ км/ч.

Скорость теплохода по течению реки (вниз по реке) равна сумме собственной скорости и скорости течения:
$v_{по~теч.} = v_{с} + v_{т} = 20 + 4 = 24$ км/ч.

Скорость теплохода против течения реки (вверх по реке) равна разности собственной скорости и скорости течения:
$v_{против~теч.} = v_{с} - v_{т} = 20 - 4 = 16$ км/ч.

Пристань А находится между В и С, а пристань В — ниже других по течению. Это означает, что течение реки направлено от С к А, а затем к В. Таким образом, расположение пристаней: С → А → В.

Пусть расстояние между пристанями А и С равно $x$ км, а расстояние между пристанями А и В равно $y$ км.

Рассмотрим первый маршрут: от А до В и от В до С. Общее время в пути — 9 ч 20 мин.
Переведем время в часы: 9 ч 20 мин = $9 + \frac{20}{60}$ ч = $9\frac{1}{3}$ ч = $\frac{28}{3}$ ч.
- Движение от А до В происходит по течению. Расстояние равно $y$ км, скорость $v_{по~теч.} = 24$ км/ч. Время в пути: $t_1 = \frac{y}{24}$ ч.
- Движение от В до С происходит против течения. Расстояние равно $y+x$ км, скорость $v_{против~теч.} = 16$ км/ч. Время в пути: $t_2 = \frac{y+x}{16}$ ч.
Составим первое уравнение:$$ \frac{y}{24} + \frac{y+x}{16} = \frac{28}{3} $$

Рассмотрим второй маршрут: от С до В и от В до А. Общее время в пути — 9 ч.
- Движение от С до В происходит по течению. Расстояние равно $x+y$ км, скорость $v_{по~теч.} = 24$ км/ч. Время в пути: $t_3 = \frac{x+y}{24}$ ч.
- Движение от В до А происходит против течения. Расстояние равно $y$ км, скорость $v_{против~теч.} = 16$ км/ч. Время в пути: $t_4 = \frac{y}{16}$ ч.
Составим второе уравнение:$$ \frac{x+y}{24} + \frac{y}{16} = 9 $$

Получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:$$ \begin{cases} \frac{y}{24} + \frac{x+y}{16} = \frac{28}{3} \\ \frac{x+y}{24} + \frac{y}{16} = 9 \end{cases} $$Умножим оба уравнения на 48 (наименьшее общее кратное для 24, 16 и 3), чтобы избавиться от дробей:$$ \begin{cases} 48 \cdot \frac{y}{24} + 48 \cdot \frac{x+y}{16} = 48 \cdot \frac{28}{3} \\ 48 \cdot \frac{x+y}{24} + 48 \cdot \frac{y}{16} = 48 \cdot 9 \end{cases} $$$$ \begin{cases} 2y + 3(x+y) = 16 \cdot 28 \\ 2(x+y) + 3y = 432 \end{cases} $$Раскроем скобки и упростим:$$ \begin{cases} 2y + 3x + 3y = 448 \\ 2x + 2y + 3y = 432 \end{cases} $$$$ \begin{cases} 3x + 5y = 448 \\ 2x + 5y = 432 \end{cases} $$Теперь решим систему. Удобнее всего вычесть второе уравнение из первого:$$ (3x + 5y) - (2x + 5y) = 448 - 432 $$$$ 3x - 2x + 5y - 5y = 16 $$$$ x = 16 $$Таким образом, расстояние между пристанями А и С равно 16 км.

Ответ: Расстояние между пристанями А и С равно 16 км.