Номер 735, страница 248 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

735. Из двух городов, расстояние между которыми 650 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Через 10 ч поезда встретились. Если же первый поезд отправится на 4 ч 20 мин раньше второго, то встреча произойдет через 8 ч после отправления второго поезда. Сколько километров в час проходит каждый поезд?

Пусть $v_1$ км/ч — скорость первого поезда, а $v_2$ км/ч — скорость второго поезда.

1. Рассмотрим первую ситуацию.
Два поезда вышли одновременно навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми $S = 650$ км, и встретились через $t_1 = 10$ часов.
При движении навстречу друг другу их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2$.
Расстояние, которое они вместе преодолели до встречи, равно $S = v_{сбл} \cdot t_1$.
Подставим известные значения и составим первое уравнение:
$ (v_1 + v_2) \cdot 10 = 650 $
Разделим обе части уравнения на 10:
$ v_1 + v_2 = 65 $ (1)

2. Рассмотрим вторую ситуацию.
Первый поезд отправился на 4 ч 20 мин раньше второго. Переведем это время в часы:
$ 4 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 4 + \frac{20}{60} \text{ ч} = 4 + \frac{1}{3} \text{ ч} = \frac{13}{3} \text{ ч} $
Встреча произошла через $t_2 = 8$ часов после отправления второго поезда.
Это означает, что второй поезд был в пути 8 часов. За это время он прошел расстояние $S_2 = v_2 \cdot 8$ км.
Первый поезд был в пути на $\frac{13}{3}$ часа дольше, чем второй. Его общее время в пути составило:
$ T_1 = 8 + \frac{13}{3} = \frac{24}{3} + \frac{13}{3} = \frac{37}{3} \text{ ч} $
За это время первый поезд прошел расстояние $S_1 = v_1 \cdot \frac{37}{3}$ км.
Вместе они прошли всё расстояние в 650 км, то есть $S_1 + S_2 = 650$.
Составим второе уравнение:
$ \frac{37}{3}v_1 + 8v_2 = 650 $ (2)

3. Решим систему уравнений.
Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} v_1 + v_2 = 65 \\ \frac{37}{3}v_1 + 8v_2 = 650 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $v_2$:
$ v_2 = 65 - v_1 $
Подставим это выражение во второе уравнение:
$ \frac{37}{3}v_1 + 8(65 - v_1) = 650 $
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $v_1$:
$ \frac{37}{3}v_1 + 520 - 8v_1 = 650 $
$ \frac{37}{3}v_1 - 8v_1 = 650 - 520 $
$ \frac{37}{3}v_1 - \frac{24}{3}v_1 = 130 $
$ \frac{13}{3}v_1 = 130 $
$ v_1 = 130 \cdot \frac{3}{13} $
$ v_1 = 10 \cdot 3 = 30 $
Итак, скорость первого поезда составляет 30 км/ч.
Теперь найдем скорость второго поезда, подставив значение $v_1$ в выражение для $v_2$:
$ v_2 = 65 - 30 = 35 $
Скорость второго поезда составляет 35 км/ч.

Ответ: скорость первого поезда — 30 км/ч, скорость второго поезда — 35 км/ч.