Номер 731, страница 248 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 39. Решение задач с помощью систем уравнений. Глава 7. Системы двух уравнений с двумя неизвестными - номер 731, страница 248.

Условие.

731. Два мастера получили за работу 234 000 р. Первый работал 15 дней, а второй — 14 дней. Сколько получал в день каждый из них, если известно, что первый мастер за 4 дня получил на 22 000 р. больше, чем второй за 3 дня?

Решение 1.

Решение 5.

Для решения данной задачи введем переменные. Пусть $x$ — это дневная зарплата первого мастера в рублях, а $y$ — дневная зарплата второго мастера в рублях.

Основываясь на условиях задачи, мы можем составить систему из двух уравнений.

Первое уравнение основано на общем заработке. Первый мастер работал 15 дней, а второй — 14 дней, и вместе они получили 234 000 рублей. Математически это выражается так:

$15x + 14y = 234000$

Второе уравнение вытекает из условия, что первый мастер за 4 дня получил на 22 000 рублей больше, чем второй за 3 дня. Это можно записать как:

$4x = 3y + 22000$

Перенесем слагаемые с переменными в одну сторону, чтобы получить стандартный вид уравнения:

$4x - 3y = 22000$

Теперь у нас есть система линейных уравнений:

$\begin{cases} 15x + 14y = 234000 \\ 4x - 3y = 22000 \end{cases}$

Решим эту систему. Удобно использовать метод подстановки. Выразим $x$ из второго уравнения:

$4x = 3y + 22000$

$x = \frac{3y + 22000}{4}$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение:

$15 \left( \frac{3y + 22000}{4} \right) + 14y = 234000$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим все уравнение на 4:

$15(3y + 22000) + 4 \cdot 14y = 4 \cdot 234000$

$45y + 330000 + 56y = 936000$

Сгруппируем слагаемые с $y$:

$101y + 330000 = 936000$

Теперь найдем значение $101y$:

$101y = 936000 - 330000$

$101y = 606000$

Отсюда находим $y$:

$y = \frac{606000}{101} = 6000$

Таким образом, дневная зарплата второго мастера составляет 6 000 рублей.

Теперь, зная $y$, найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение для $x$:

$x = \frac{3 \cdot 6000 + 22000}{4} = \frac{18000 + 22000}{4} = \frac{40000}{4} = 10000$

Следовательно, дневная зарплата первого мастера составляет 10 000 рублей.

Проверка:

1. Общая сумма: $15 \cdot 10000 \text{ р.} + 14 \cdot 6000 \text{ р.} = 150000 \text{ р.} + 84000 \text{ р.} = 234000$ р.

2. Разница в заработке: заработок первого за 4 дня $4 \cdot 10000 = 40000$ р., заработок второго за 3 дня $3 \cdot 6000 = 18000$ р. Разница $40000 - 18000 = 22000$ р.

Оба условия задачи выполняются.

Ответ: первый мастер получал в день 10 000 рублей, а второй мастер — 6 000 рублей.