Номер 728, страница 247 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

728. Двое рабочих изготовили вместе 1020 деталей. Первый рабочий работал 15 дней, а второй — 14 дней. Сколько деталей изготавливал каждый рабочий за один день, если первый рабочий за 3 дня изготавливал на 60 деталей больше, чем второй за 2 дня?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество деталей, которое первый рабочий изготавливает за один день, а $y$ — количество деталей, которое второй рабочий изготавливает за один день.

Составим систему уравнений исходя из условий задачи.

1. Первый рабочий работал 15 дней и изготовил $15x$ деталей. Второй рабочий работал 14 дней и изготовил $14y$ деталей. Вместе они изготовили 1020 деталей. Это дает нам первое уравнение:

$15x + 14y = 1020$

2. За 3 дня первый рабочий изготавливает $3x$ деталей, а второй за 2 дня — $2y$ деталей. По условию, первый рабочий за это время изготовил на 60 деталей больше. Это дает нам второе уравнение:

$3x - 2y = 60$

Решим полученную систему уравнений:

$$ \begin{cases} 15x + 14y = 1020 \\ 3x - 2y = 60 \end{cases} $$

Для решения системы воспользуемся методом алгебраического сложения. Умножим второе уравнение на 7, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными:

$7 \cdot (3x - 2y) = 7 \cdot 60$

$21x - 14y = 420$

Теперь сложим почленно первое уравнение и преобразованное второе уравнение:

$(15x + 14y) + (21x - 14y) = 1020 + 420$

$36x = 1440$

Найдем $x$:

$x = \frac{1440}{36} = 40$

Теперь, когда мы знаем производительность первого рабочего, подставим значение $x = 40$ во второе исходное уравнение ($3x - 2y = 60$), чтобы найти производительность второго рабочего $y$:

$3 \cdot 40 - 2y = 60$

$120 - 2y = 60$

$2y = 120 - 60$

$2y = 60$

$y = \frac{60}{2} = 30$

Таким образом, первый рабочий изготавливал 40 деталей в день, а второй — 30 деталей в день.

Проверка.

Общее количество деталей: $15 \cdot 40 + 14 \cdot 30 = 600 + 420 = 1020$. Верно.

Разница в производительности: $3 \cdot 40 - 2 \cdot 30 = 120 - 60 = 60$. Верно.

Ответ: Первый рабочий изготавливал 40 деталей в день, а второй рабочий — 30 деталей в день.