Номер 734, страница 248 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 39. Решение задач с помощью систем уравнений. Глава 7. Системы двух уравнений с двумя неизвестными - номер 734, страница 248.

Условие.

734. Лодка прошла 12 км по течению реки и обратно за 2,5 ч. В другой раз та же лодка за 1 ч 20 мин прошла по течению реки 4 км, а против течения 8 км. Найти скорость лодки в стоячей воде и скорость течения реки.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_л$ км/ч — это собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде), а $v_т$ км/ч — это скорость течения реки. Тогда скорость лодки по течению реки составляет $(v_л + v_т)$ км/ч, а скорость против течения реки — $(v_л - v_т)$ км/ч.

Исходя из первого условия задачи, лодка прошла 12 км по течению и 12 км обратно (против течения) за 2,5 часа. Время движения вычисляется по формуле $t = S/v$. Таким образом, время движения по течению равно $\frac{12}{v_л + v_т}$ ч, а время движения против течения — $\frac{12}{v_л - v_т}$ ч. Составим первое уравнение:

$\frac{12}{v_л + v_т} + \frac{12}{v_л - v_т} = 2,5$

Из второго условия, та же лодка за 1 ч 20 мин прошла 4 км по течению и 8 км против течения. Сначала переведем время в часы: 1 ч 20 мин = $1 \frac{20}{60}$ ч = $1 \frac{1}{3}$ ч = $\frac{4}{3}$ ч. Составим второе уравнение на основе этих данных:

$\frac{4}{v_л + v_т} + \frac{8}{v_л - v_т} = \frac{4}{3}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$$\begin{cases}\frac{12}{v_л + v_т} + \frac{12}{v_л - v_т} = 2,5 \\\frac{4}{v_л + v_т} + \frac{8}{v_л - v_т} = \frac{4}{3}\end{cases}$$

Для упрощения решения введем замену переменных. Пусть $x = v_л + v_т$ (скорость по течению) и $y = v_л - v_т$ (скорость против течения). Система примет вид:

$$\begin{cases}\frac{12}{x} + \frac{12}{y} = 2,5 \\\frac{4}{x} + \frac{8}{y} = \frac{4}{3}\end{cases}$$

Разделим обе части второго уравнения на 4, чтобы его упростить:

$\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{3}$

Из этого уравнения выразим $\frac{1}{x}$:

$\frac{1}{x} = \frac{1}{3} - \frac{2}{y}$

Теперь подставим полученное выражение в первое уравнение системы:

$12 \cdot (\frac{1}{3} - \frac{2}{y}) + \frac{12}{y} = 2,5$

Решим это уравнение относительно $y$:

$4 - \frac{24}{y} + \frac{12}{y} = 2,5$

$4 - \frac{12}{y} = 2,5$

$4 - 2,5 = \frac{12}{y}$

$1,5 = \frac{12}{y}$

$y = \frac{12}{1,5} = \frac{12}{3/2} = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8$

Мы нашли, что скорость против течения $y = 8$ км/ч. Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в упрощенное второе уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{2}{8} = \frac{1}{3}$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{4} = \frac{1}{3}$

$\frac{1}{x} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$

$\frac{1}{x} = \frac{4-3}{12} = \frac{1}{12}$

$x = 12$

Скорость по течению $x = 12$ км/ч. Теперь вернемся к исходным переменным. Мы имеем систему:

$$\begin{cases}v_л + v_т = 12 \\v_л - v_т = 8\end{cases}$$

Сложим эти два уравнения: $(v_л + v_т) + (v_л - v_т) = 12 + 8$, что дает $2v_л = 20$. Отсюда находим скорость лодки в стоячей воде:

$v_л = 10$ км/ч

Подставим значение $v_л$ в первое уравнение системы, чтобы найти скорость течения:

$10 + v_т = 12$

$v_т = 12 - 10 = 2$ км/ч

Ответ: скорость лодки в стоячей воде — 10 км/ч, скорость течения реки — 2 км/ч.