Страница 248 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

729. Два тракториста забороновали вместе 678 га пашни. Первый тракторист работал 8 дней, а второй — 11 дней. Сколько гектаров боровал за день каждый тракторист, если первый за 3 дня забороновал на 22 га меньше, чем второй за 4 дня?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — количество гектаров, которое бороновал первый тракторист за один день, а $y$ — количество гектаров, которое бороновал второй тракторист за один день.

Согласно условию, вместе они забороновали 678 га. Первый тракторист работал 8 дней и забороновал $8x$ га. Второй работал 11 дней и забороновал $11y$ га. Составим первое уравнение:

$8x + 11y = 678$

Также известно, что первый тракторист за 3 дня ($3x$ га) забороновал на 22 га меньше, чем второй за 4 дня ($4y$ га). Это можно записать в виде второго уравнения:

$4y - 3x = 22$

Получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} 8x + 11y = 678 \\ -3x + 4y = 22 \end{cases}$

Решим эту систему. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 8, чтобы использовать метод сложения для исключения переменной $x$:

$3 \cdot (8x + 11y) = 3 \cdot 678 \implies 24x + 33y = 2034$

$8 \cdot (-3x + 4y) = 8 \cdot 22 \implies -24x + 32y = 176$

Сложим два новых уравнения:

$(24x + 33y) + (-24x + 32y) = 2034 + 176$

$65y = 2210$

Отсюда находим производительность второго тракториста:

$y = \frac{2210}{65} = 34$ (га/день)

Теперь подставим значение $y = 34$ во второе исходное уравнение, чтобы найти $x$:

$-3x + 4(34) = 22$

$-3x + 136 = 22$

$-3x = 22 - 136$

$-3x = -114$

$x = \frac{-114}{-3} = 38$ (га/день)

Таким образом, первый тракторист бороновал 38 га в день, а второй — 34 га в день.

Выполним проверку. Общая работа: $8 \cdot 38 + 11 \cdot 34 = 304 + 374 = 678$ га. Это соответствует условию. Сравнение работы: за 3 дня первый забороновал $3 \cdot 38 = 114$ га, а второй за 4 дня — $4 \cdot 34 = 136$ га. Разница составляет $136 - 114 = 22$ га, что также соответствует условию.

Ответ: первый тракторист бороновал 38 га в день, а второй — 34 га в день.

730. Для 8 лошадей и 15 коров отпускали ежедневно 162 кг сена. Сколько сена ежедневно выдавали каждой лошади и каждой корове, если известно, что 5 лошадей получили сена на 3 кг больше, чем 7 коров?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть x кг — это количество сена, которое ежедневно получает одна лошадь.

Пусть y кг — это количество сена, которое ежедневно получает одна корова.

Из первого условия известно, что 8 лошадей и 15 коров вместе получают 162 кг сена в день. На основе этого составим первое уравнение:

$8x + 15y = 162$

Из второго условия известно, что 5 лошадей получают на 3 кг сена больше, чем 7 коров. Это позволяет нам составить второе уравнение:

$5x = 7y + 3$

Преобразуем второе уравнение для удобства решения системы:

$5x - 7y = 3$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} 8x + 15y = 162 \\ 5x - 7y = 3 \end{cases}$

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Для этого умножим первое уравнение на 5, а второе на 8, чтобы коэффициенты при переменной x стали одинаковыми.

Умножим первое уравнение на 5:

$5 \cdot (8x + 15y) = 5 \cdot 162$

$40x + 75y = 810$

Умножим второе уравнение на 8:

$8 \cdot (5x - 7y) = 8 \cdot 3$

$40x - 56y = 24$

Теперь вычтем второе полученное уравнение из первого:

$(40x + 75y) - (40x - 56y) = 810 - 24$

$40x + 75y - 40x + 56y = 786$

$131y = 786$

Теперь найдем значение y:

$y = \frac{786}{131} = 6$

Итак, каждая корова получает 6 кг сена в день.

Подставим найденное значение $y=6$ в одно из исходных уравнений, например, во второе, чтобы найти x:

$5x - 7y = 3$

$5x - 7 \cdot 6 = 3$

$5x - 42 = 3$

$5x = 3 + 42$

$5x = 45$

$x = \frac{45}{5} = 9$

Следовательно, каждая лошадь получает 9 кг сена в день.

Проверим правильность решения, подставив найденные значения в оба исходных условия:

1. Для 8 лошадей и 15 коров: $8 \cdot 9 + 15 \cdot 6 = 72 + 90 = 162$ кг сена. Это соответствует первому условию.

2. Для 5 лошадей: $5 \cdot 9 = 45$ кг. Для 7 коров: $7 \cdot 6 = 42$ кг. Разница: $45 - 42 = 3$ кг. 5 лошадей получили на 3 кг сена больше, чем 7 коров. Это соответствует второму условию.

Ответ: каждой лошади ежедневно выдавали 9 кг сена, а каждой корове — 6 кг сена.

731. Два мастера получили за работу 234 000 р. Первый работал 15 дней, а второй — 14 дней. Сколько получал в день каждый из них, если известно, что первый мастер за 4 дня получил на 22 000 р. больше, чем второй за 3 дня?

Для решения данной задачи введем переменные. Пусть $x$ — это дневная зарплата первого мастера в рублях, а $y$ — дневная зарплата второго мастера в рублях.

Основываясь на условиях задачи, мы можем составить систему из двух уравнений.

Первое уравнение основано на общем заработке. Первый мастер работал 15 дней, а второй — 14 дней, и вместе они получили 234 000 рублей. Математически это выражается так:

$15x + 14y = 234000$

Второе уравнение вытекает из условия, что первый мастер за 4 дня получил на 22 000 рублей больше, чем второй за 3 дня. Это можно записать как:

$4x = 3y + 22000$

Перенесем слагаемые с переменными в одну сторону, чтобы получить стандартный вид уравнения:

$4x - 3y = 22000$

Теперь у нас есть система линейных уравнений:

$\begin{cases} 15x + 14y = 234000 \\ 4x - 3y = 22000 \end{cases}$

Решим эту систему. Удобно использовать метод подстановки. Выразим $x$ из второго уравнения:

$4x = 3y + 22000$

$x = \frac{3y + 22000}{4}$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение:

$15 \left( \frac{3y + 22000}{4} \right) + 14y = 234000$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим все уравнение на 4:

$15(3y + 22000) + 4 \cdot 14y = 4 \cdot 234000$

$45y + 330000 + 56y = 936000$

Сгруппируем слагаемые с $y$:

$101y + 330000 = 936000$

Теперь найдем значение $101y$:

$101y = 936000 - 330000$

$101y = 606000$

Отсюда находим $y$:

$y = \frac{606000}{101} = 6000$

Таким образом, дневная зарплата второго мастера составляет 6 000 рублей.

Теперь, зная $y$, найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение для $x$:

$x = \frac{3 \cdot 6000 + 22000}{4} = \frac{18000 + 22000}{4} = \frac{40000}{4} = 10000$

Следовательно, дневная зарплата первого мастера составляет 10 000 рублей.

Проверка:

1. Общая сумма: $15 \cdot 10000 \text{ р.} + 14 \cdot 6000 \text{ р.} = 150000 \text{ р.} + 84000 \text{ р.} = 234000$ р.

2. Разница в заработке: заработок первого за 4 дня $4 \cdot 10000 = 40000$ р., заработок второго за 3 дня $3 \cdot 6000 = 18000$ р. Разница $40000 - 18000 = 22000$ р.

Оба условия задачи выполняются.

Ответ: первый мастер получал в день 10 000 рублей, а второй мастер — 6 000 рублей.

732. В двух баках содержалось 140 л воды. Когда из первого бака взяли 26 л воды, а из второго — 60 л, то в первом баке осталось в 2 раза больше воды, чем во втором. Сколько литров воды было в каждом баке первоначально?

Для решения задачи выполним действия по шагам.

1. Узнаем, сколько всего воды взяли из двух баков. Для этого сложим объемы воды, взятые из каждого бака:
$26 + 60 = 86$ (л)

2. Узнаем, сколько всего воды осталось в двух баках. Для этого из общего первоначального объема вычтем общий объем взятой воды:
$140 - 86 = 54$ (л)

3. По условию, после того как воду взяли, в первом баке осталось в 2 раза больше воды, чем во втором. Давайте примем объем воды, оставшийся во втором баке, за 1 часть. Тогда объем воды в первом баке будет равен 2 таким же частям. Суммарный объем воды в частях составит:
$1 + 2 = 3$ (части)

4. Мы знаем, что 3 части — это 54 литра воды, которые остались в двух баках. Найдем, сколько литров составляет одна часть. Этот объем будет равен количеству воды, оставшейся во втором баке:
$54 / 3 = 18$ (л)

5. Теперь найдем, сколько воды осталось в первом баке (2 части):
$18 \cdot 2 = 36$ (л)

6. Чтобы найти, сколько воды было в каждом баке первоначально, нужно к оставшемуся объему прибавить тот объем, который из него забрали:
Первоначальный объем в первом баке: $36 + 26 = 62$ (л)
Первоначальный объем во втором баке: $18 + 60 = 78$ (л)

Проверка:
Первоначальный общий объем: $62 + 78 = 140$ л. Верно.
Остаток в первом баке: $62 - 26 = 36$ л.
Остаток во втором баке: $78 - 60 = 18$ л.
$36$ л ровно в 2 раза больше, чем $18$ л. Условие выполнено.

Ответ: первоначально в первом баке было 62 л воды, а во втором — 78 л.

733. В одном бидоне на 5 л молока больше, чем в другом. Если из первого бидона перелить во второй 8 л молока, то во втором бидоне молока станет в 2 раза больше, чем останется в первом. Сколько литров молока в каждом бидоне?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это первоначальное количество молока во втором бидоне (в литрах). Согласно условию, в первом бидоне было на 5 литров больше, то есть $(x + 5)$ литров.

После того как из первого бидона перелили 8 литров во второй, количество молока в каждом бидоне изменилось.
В первом бидоне осталось: $(x + 5) - 8 = x - 3$ литра.
Во втором бидоне стало: $x + 8$ литров.

По новому условию, во втором бидоне молока стало в 2 раза больше, чем осталось в первом. На основе этого составим и решим уравнение:
$x + 8 = 2 \cdot (x - 3)$
$x + 8 = 2x - 6$
$8 + 6 = 2x - x$
$14 = x$

Таким образом, мы нашли, что первоначально во втором бидоне было 14 литров молока.
Теперь найдем первоначальное количество молока в первом бидоне:
$x + 5 = 14 + 5 = 19$ литров.

Выполним проверку. Изначально в бидонах было 19 л и 14 л. Разница составляет $19 - 14 = 5$ л, что соответствует условию задачи. После переливания 8 л в первом бидоне осталось $19 - 8 = 11$ л, а во втором стало $14 + 8 = 22$ л. Количество молока во втором бидоне ($22$ л) действительно в 2 раза больше, чем в первом ($11$ л), так как $22 = 2 \cdot 11$. Все условия выполнены.

Ответ: первоначально в первом бидоне было 19 литров молока, а во втором — 14 литров.

734. Лодка прошла 12 км по течению реки и обратно за 2,5 ч. В другой раз та же лодка за 1 ч 20 мин прошла по течению реки 4 км, а против течения 8 км. Найти скорость лодки в стоячей воде и скорость течения реки.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_л$ км/ч — это собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде), а $v_т$ км/ч — это скорость течения реки. Тогда скорость лодки по течению реки составляет $(v_л + v_т)$ км/ч, а скорость против течения реки — $(v_л - v_т)$ км/ч.

Исходя из первого условия задачи, лодка прошла 12 км по течению и 12 км обратно (против течения) за 2,5 часа. Время движения вычисляется по формуле $t = S/v$. Таким образом, время движения по течению равно $\frac{12}{v_л + v_т}$ ч, а время движения против течения — $\frac{12}{v_л - v_т}$ ч. Составим первое уравнение:

$\frac{12}{v_л + v_т} + \frac{12}{v_л - v_т} = 2,5$

Из второго условия, та же лодка за 1 ч 20 мин прошла 4 км по течению и 8 км против течения. Сначала переведем время в часы: 1 ч 20 мин = $1 \frac{20}{60}$ ч = $1 \frac{1}{3}$ ч = $\frac{4}{3}$ ч. Составим второе уравнение на основе этих данных:

$\frac{4}{v_л + v_т} + \frac{8}{v_л - v_т} = \frac{4}{3}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$$\begin{cases}\frac{12}{v_л + v_т} + \frac{12}{v_л - v_т} = 2,5 \\\frac{4}{v_л + v_т} + \frac{8}{v_л - v_т} = \frac{4}{3}\end{cases}$$

Для упрощения решения введем замену переменных. Пусть $x = v_л + v_т$ (скорость по течению) и $y = v_л - v_т$ (скорость против течения). Система примет вид:

$$\begin{cases}\frac{12}{x} + \frac{12}{y} = 2,5 \\\frac{4}{x} + \frac{8}{y} = \frac{4}{3}\end{cases}$$

Разделим обе части второго уравнения на 4, чтобы его упростить:

$\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{3}$

Из этого уравнения выразим $\frac{1}{x}$:

$\frac{1}{x} = \frac{1}{3} - \frac{2}{y}$

Теперь подставим полученное выражение в первое уравнение системы:

$12 \cdot (\frac{1}{3} - \frac{2}{y}) + \frac{12}{y} = 2,5$

Решим это уравнение относительно $y$:

$4 - \frac{24}{y} + \frac{12}{y} = 2,5$

$4 - \frac{12}{y} = 2,5$

$4 - 2,5 = \frac{12}{y}$

$1,5 = \frac{12}{y}$

$y = \frac{12}{1,5} = \frac{12}{3/2} = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8$

Мы нашли, что скорость против течения $y = 8$ км/ч. Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в упрощенное второе уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{2}{8} = \frac{1}{3}$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{4} = \frac{1}{3}$

$\frac{1}{x} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$

$\frac{1}{x} = \frac{4-3}{12} = \frac{1}{12}$

$x = 12$

Скорость по течению $x = 12$ км/ч. Теперь вернемся к исходным переменным. Мы имеем систему:

$$\begin{cases}v_л + v_т = 12 \\v_л - v_т = 8\end{cases}$$

Сложим эти два уравнения: $(v_л + v_т) + (v_л - v_т) = 12 + 8$, что дает $2v_л = 20$. Отсюда находим скорость лодки в стоячей воде:

$v_л = 10$ км/ч

Подставим значение $v_л$ в первое уравнение системы, чтобы найти скорость течения:

$10 + v_т = 12$

$v_т = 12 - 10 = 2$ км/ч

Ответ: скорость лодки в стоячей воде — 10 км/ч, скорость течения реки — 2 км/ч.

735. Из двух городов, расстояние между которыми 650 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Через 10 ч поезда встретились. Если же первый поезд отправится на 4 ч 20 мин раньше второго, то встреча произойдет через 8 ч после отправления второго поезда. Сколько километров в час проходит каждый поезд?

Пусть $v_1$ км/ч — скорость первого поезда, а $v_2$ км/ч — скорость второго поезда.

1. Рассмотрим первую ситуацию.
Два поезда вышли одновременно навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми $S = 650$ км, и встретились через $t_1 = 10$ часов.
При движении навстречу друг другу их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2$.
Расстояние, которое они вместе преодолели до встречи, равно $S = v_{сбл} \cdot t_1$.
Подставим известные значения и составим первое уравнение:
$ (v_1 + v_2) \cdot 10 = 650 $
Разделим обе части уравнения на 10:
$ v_1 + v_2 = 65 $ (1)

2. Рассмотрим вторую ситуацию.
Первый поезд отправился на 4 ч 20 мин раньше второго. Переведем это время в часы:
$ 4 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 4 + \frac{20}{60} \text{ ч} = 4 + \frac{1}{3} \text{ ч} = \frac{13}{3} \text{ ч} $
Встреча произошла через $t_2 = 8$ часов после отправления второго поезда.
Это означает, что второй поезд был в пути 8 часов. За это время он прошел расстояние $S_2 = v_2 \cdot 8$ км.
Первый поезд был в пути на $\frac{13}{3}$ часа дольше, чем второй. Его общее время в пути составило:
$ T_1 = 8 + \frac{13}{3} = \frac{24}{3} + \frac{13}{3} = \frac{37}{3} \text{ ч} $
За это время первый поезд прошел расстояние $S_1 = v_1 \cdot \frac{37}{3}$ км.
Вместе они прошли всё расстояние в 650 км, то есть $S_1 + S_2 = 650$.
Составим второе уравнение:
$ \frac{37}{3}v_1 + 8v_2 = 650 $ (2)

3. Решим систему уравнений.
Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} v_1 + v_2 = 65 \\ \frac{37}{3}v_1 + 8v_2 = 650 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $v_2$:
$ v_2 = 65 - v_1 $
Подставим это выражение во второе уравнение:
$ \frac{37}{3}v_1 + 8(65 - v_1) = 650 $
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $v_1$:
$ \frac{37}{3}v_1 + 520 - 8v_1 = 650 $
$ \frac{37}{3}v_1 - 8v_1 = 650 - 520 $
$ \frac{37}{3}v_1 - \frac{24}{3}v_1 = 130 $
$ \frac{13}{3}v_1 = 130 $
$ v_1 = 130 \cdot \frac{3}{13} $
$ v_1 = 10 \cdot 3 = 30 $
Итак, скорость первого поезда составляет 30 км/ч.
Теперь найдем скорость второго поезда, подставив значение $v_1$ в выражение для $v_2$:
$ v_2 = 65 - 30 = 35 $
Скорость второго поезда составляет 35 км/ч.

Ответ: скорость первого поезда — 30 км/ч, скорость второго поезда — 35 км/ч.

736. Фермер собрал с двух участков 460 т клевера. На второй год на первом участке урожай увеличился на 15 %, а на втором — на 10 % и общий урожай клевера составил 516 т. Сколько тонн клевера было собрано с каждого участка в первый год?

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ тонн — это урожай клевера, собранный с первого участка в первый год, а $y$ тонн — урожай, собранный со второго участка в первый год.

Согласно условию, в первый год с двух участков в сумме собрали 460 тонн клевера. Это можно записать в виде первого уравнения:

$x + y = 460$

На второй год урожай на первом участке увеличился на 15%, то есть составил $100\% + 15\% = 115\%$ от первоначального. Новый урожай с первого участка равен $1.15x$ тонн.

Урожай на втором участке увеличился на 10%, то есть составил $100\% + 10\% = 110\%$ от первоначального. Новый урожай со второго участка равен $1.10y$ тонн.

Общий урожай за второй год составил 516 тонн. Это можно записать в виде второго уравнения:

$1.15x + 1.10y = 516$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x + y = 460 \\ 1.15x + 1.10y = 516 \end{cases}$

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 460 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$1.15x + 1.10(460 - x) = 516$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$1.15x + 1.10 \cdot 460 - 1.10x = 516$

$1.15x + 506 - 1.10x = 516$

Приведем подобные слагаемые:

$(1.15 - 1.10)x = 516 - 506$

$0.05x = 10$

Найдем $x$:

$x = \frac{10}{0.05} = \frac{1000}{5} = 200$

Итак, в первый год с первого участка было собрано 200 тонн клевера.

Теперь найдем, сколько клевера было собрано со второго участка, подставив значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 460 - x = 460 - 200 = 260$

В первый год со второго участка было собрано 260 тонн клевера.

Ответ: в первый год с первого участка было собрано 200 тонн клевера, а со второго — 260 тонн.

737. В январе два цеха изготовили 1080 деталей. В феврале первый цех увеличил выпуск деталей на $15\%$, второй — на $12\%$, оба цеха изготовили 1224 детали. Сколько деталей изготовил в феврале каждый цех?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ — это количество деталей, которые изготовил первый цех в январе, а $y$ — количество деталей, которые изготовил второй цех в январе.

Согласно условию, в январе оба цеха вместе изготовили 1080 деталей. На основе этого мы можем составить первое уравнение:

$x + y = 1080$

В феврале выпуск первого цеха увеличился на 15%, значит, он стал равен $x + 0.15x = 1.15x$. Выпуск второго цеха увеличился на 12%, значит, он стал равен $y + 0.12y = 1.12y$.

Суммарный выпуск в феврале составил 1224 детали. Это дает нам второе уравнение:

$1.15x + 1.12y = 1224$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} x + y = 1080 \\ 1.15x + 1.12y = 1224 \end{cases}$

Для решения системы выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 1080 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$1.15x + 1.12(1080 - x) = 1224$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:

$1.15x + 1.12 \times 1080 - 1.12x = 1224$

$1.15x + 1209.6 - 1.12x = 1224$

$0.03x = 1224 - 1209.6$

$0.03x = 14.4$

$x = \frac{14.4}{0.03} = 480$

Итак, в январе первый цех изготовил 480 деталей. Найдем, сколько деталей изготовил в январе второй цех:

$y = 1080 - 480 = 600$

В январе второй цех изготовил 600 деталей.

Вопрос задачи — сколько деталей изготовил в феврале каждый цех. Рассчитаем эти значения.

Количество деталей, изготовленных первым цехом в феврале:

$1.15 \times x = 1.15 \times 480 = 552$ детали.

Количество деталей, изготовленных вторым цехом в феврале:

$1.12 \times y = 1.12 \times 600 = 672$ детали.

Проверим: $552 + 672 = 1224$, что соответствует общему выпуску за февраль по условию.

Ответ: в феврале первый цех изготовил 552 детали, а второй цех — 672 детали.