Страница 251 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить систему уравнений (742—744).

742. 1) $\begin{cases} 2x + y = 2, \\ 6x - 2y = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + 6y = 4, \\ 2x - 3y = 3; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x + 7y = 2, \\ 5x + 13y = 12; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 5x + y = 3, \\ 9x + 2y = 4. \end{cases}$

1) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2x + y = 2 \\ 6x - 2y = 1 \end{cases} $$ Для решения этой системы удобно использовать метод сложения (устранения переменной). Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при y стали противоположными: $$ \begin{cases} 2(2x + y) = 2 \cdot 2 \\ 6x - 2y = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 4x + 2y = 4 \\ 6x - 2y = 1 \end{cases} $$ Теперь сложим два уравнения системы: $$ (4x + 6x) + (2y - 2y) = 4 + 1 $$ $$ 10x = 5 $$ $$ x = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} $$ Подставим найденное значение x в первое исходное уравнение, чтобы найти y: $$ 2 \cdot \frac{1}{2} + y = 2 $$ $$ 1 + y = 2 $$ $$ y = 1 $$ Проверим, подставив значения во второе уравнение: $6 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot 1 = 3 - 2 = 1$. Верно.
Ответ: $(\frac{1}{2}; 1)$.

2) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + 6y = 4 \\ 2x - 3y = 3 \end{cases} $$ Используем метод сложения. Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при y стали противоположными: $$ \begin{cases} x + 6y = 4 \\ 2(2x - 3y) = 2 \cdot 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x + 6y = 4 \\ 4x - 6y = 6 \end{cases} $$ Сложим два уравнения системы: $$ (x + 4x) + (6y - 6y) = 4 + 6 $$ $$ 5x = 10 $$ $$ x = 2 $$ Подставим значение x в первое исходное уравнение: $$ 2 + 6y = 4 $$ $$ 6y = 2 $$ $$ y = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$ Проверим, подставив значения во второе уравнение: $2 \cdot 2 - 3 \cdot \frac{1}{3} = 4 - 1 = 3$. Верно.
Ответ: $(2; \frac{1}{3})$.

3) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + 7y = 2 \\ 5x + 13y = 12 \end{cases} $$ Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим x: $$ x = 2 - 7y $$ Подставим это выражение во второе уравнение системы: $$ 5(2 - 7y) + 13y = 12 $$ $$ 10 - 35y + 13y = 12 $$ $$ 10 - 22y = 12 $$ $$ -22y = 12 - 10 $$ $$ -22y = 2 $$ $$ y = -\frac{2}{22} = -\frac{1}{11} $$ Теперь найдем x, подставив значение y в выражение для x: $$ x = 2 - 7 \left(-\frac{1}{11}\right) = 2 + \frac{7}{11} = \frac{22}{11} + \frac{7}{11} = \frac{29}{11} $$ Проверим, подставив значения во второе уравнение: $5 \cdot \frac{29}{11} + 13 \cdot (-\frac{1}{11}) = \frac{145}{11} - \frac{13}{11} = \frac{132}{11} = 12$. Верно.
Ответ: $(\frac{29}{11}; -\frac{1}{11})$.

4) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 5x + y = 3 \\ 9x + 2y = 4 \end{cases} $$ Применим метод подстановки. Из первого уравнения легко выразить y: $$ y = 3 - 5x $$ Подставим это выражение во второе уравнение системы: $$ 9x + 2(3 - 5x) = 4 $$ $$ 9x + 6 - 10x = 4 $$ $$ -x + 6 = 4 $$ $$ -x = 4 - 6 $$ $$ -x = -2 $$ $$ x = 2 $$ Найдем y, подставив значение x в выражение для y: $$ y = 3 - 5 \cdot 2 = 3 - 10 = -7 $$ Проверим, подставив значения во второе уравнение: $9 \cdot 2 + 2 \cdot (-7) = 18 - 14 = 4$. Верно.
Ответ: $(2; -7)$.

743. 1) $$\begin{cases} 2(x + y) - 3(x - y) = 4, \\ 5(x + y) - 7(x - y) = 2; \end{cases}$$

2) $$\begin{cases} 5(3x + y) - 8(x - 6y) = 20, \\ 6(x - 10y) - 13(x - y) = 52. \end{cases}$$

1) Исходная система уравнений: $ \begin{cases} 2(x + y) - 3(x - y) = 4 \\ 5(x + y) - 7(x - y) = 2 \end{cases} $
Этот тип системы удобно решать методом введения новых переменных. Заметим, что в оба уравнения входят одинаковые выражения $x+y$ и $x-y$.
Пусть $a = x + y$ и $b = x - y$.
Тогда исходная система примет вид: $ \begin{cases} 2a - 3b = 4 \\ 5a - 7b = 2 \end{cases} $
Решим полученную систему линейных уравнений относительно $a$ и $b$ методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на -2, чтобы коэффициенты при переменной $a$ стали противоположными числами:
$ \begin{cases} 10a - 15b = 20 \\ -10a + 14b = -4 \end{cases} $
Сложим почленно уравнения системы:
$(10a - 15b) + (-10a + 14b) = 20 - 4$
$-b = 16$
$b = -16$
Теперь подставим найденное значение $b = -16$ в первое уравнение системы $2a - 3b = 4$, чтобы найти $a$:
$2a - 3(-16) = 4$
$2a + 48 = 4$
$2a = 4 - 48$
$2a = -44$
$a = -22$
Теперь, когда мы нашли значения $a$ и $b$, выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:
$ \begin{cases} x + y = a \\ x - y = b \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x + y = -22 \\ x - y = -16 \end{cases} $
Сложим уравнения этой новой системы:
$(x + y) + (x - y) = -22 + (-16)$
$2x = -38$
$x = -19$
Подставим значение $x = -19$ в первое уравнение $x + y = -22$:
$-19 + y = -22$
$y = -22 + 19$
$y = -3$
Ответ: $x = -19, y = -3$.

2) Исходная система уравнений: $ \begin{cases} 5(3x + y) - 8(x - 6y) = 20 \\ 6(x - 10y) - 13(x - y) = 52 \end{cases} $
Упростим каждое уравнение системы, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.
Первое уравнение:
$5(3x + y) - 8(x - 6y) = 20$
$15x + 5y - 8x + 48y = 20$
$(15-8)x + (5+48)y = 20$
$7x + 53y = 20$
Второе уравнение:
$6(x - 10y) - 13(x - y) = 52$
$6x - 60y - 13x + 13y = 52$
$(6-13)x + (-60+13)y = 52$
$-7x - 47y = 52$
В результате преобразований получаем следующую, более простую систему: $ \begin{cases} 7x + 53y = 20 \\ -7x - 47y = 52 \end{cases} $
Коэффициенты при переменной $x$ являются противоположными числами ($7$ и $-7$), поэтому для решения системы удобно использовать метод алгебраического сложения. Сложим два уравнения:
$(7x + 53y) + (-7x - 47y) = 20 + 52$
$53y - 47y = 72$
$6y = 72$
$y = 12$
Подставим найденное значение $y = 12$ в первое упрощенное уравнение $7x + 53y = 20$, чтобы найти $x$:
$7x + 53 \cdot 12 = 20$
$7x + 636 = 20$
$7x = 20 - 636$
$7x = -616$
$x = \frac{-616}{7}$
$x = -88$
Ответ: $x = -88, y = 12$.

744. 1) $\begin{cases} 16x - 27y = 20, \\ 5x + 18y = 41,5; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 18x - 21y = 2, \\ 24x - 15y = 7; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \frac{1}{2}(x - 4y) = x - y, \\ \frac{x}{2} + y = 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 3(x - y) = 6(y + 1), \\ \frac{x}{3} - 1\frac{1}{3} = y; \end{cases}$

5) $\begin{cases} \frac{x - y}{3} - \frac{1}{2} = \frac{x - y}{4}, \\ \frac{x - y}{2} = 4,5 + \frac{y - 1}{3}; \end{cases}$

6) $\begin{cases} \frac{x + y}{5} - \frac{y - x}{2} = x + \frac{3}{20}, \\ \frac{x - y}{4} + \frac{x + y}{3} = y - 7\frac{1}{24}. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} 16x - 27y = 20, \\ 5x + 18y = 41,5 \end{cases} $
Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными числами: $ \begin{cases} 32x - 54y = 40, \\ 15x + 54y = 124,5 \end{cases} $
Сложим два уравнения системы: $ (32x - 54y) + (15x + 54y) = 40 + 124,5 $
$ 47x = 164,5 $
$ x = \frac{164,5}{47} = 3,5 $
Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение исходной системы: $ 5 \cdot (3,5) + 18y = 41,5 $
$ 17,5 + 18y = 41,5 $
$ 18y = 41,5 - 17,5 $
$ 18y = 24 $
$ y = \frac{24}{18} = \frac{4}{3} $
Ответ: $x = 3,5; y = \frac{4}{3}$.

2) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} 18x - 21y = 2, \\ 24x - 15y = 7 \end{cases} $
Умножим первое уравнение на 4, а второе на 3, чтобы уравнять коэффициенты при $x$: $ \begin{cases} 4(18x - 21y) = 4 \cdot 2, \\ 3(24x - 15y) = 3 \cdot 7 \end{cases} $
$ \begin{cases} 72x - 84y = 8, \\ 72x - 45y = 21 \end{cases} $
Вычтем первое уравнение из второго: $ (72x - 45y) - (72x - 84y) = 21 - 8 $
$ 39y = 13 $
$ y = \frac{13}{39} = \frac{1}{3} $
Подставим найденное значение $y$ в первое уравнение исходной системы: $ 18x - 21 \cdot (\frac{1}{3}) = 2 $
$ 18x - 7 = 2 $
$ 18x = 9 $
$ x = \frac{9}{18} = \frac{1}{2} $
Ответ: $x = \frac{1}{2}; y = \frac{1}{3}$.

3) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} \frac{1}{2}(x - 4y) = x - y, \\ \frac{x}{2} + y = 0 \end{cases} $
Упростим первое уравнение, умножив обе части на 2: $ x - 4y = 2(x - y) $
$ x - 4y = 2x - 2y $
$ -x = 2y $
$ x = -2y $
Упростим второе уравнение, умножив обе части на 2: $ x + 2y = 0 $
$ x = -2y $
Оба уравнения системы приводятся к одному и тому же виду $x = -2y$. Это означает, что система имеет бесконечное множество решений. Любая пара чисел $(x, y)$, удовлетворяющая этому соотношению, является решением системы.
Ответ: бесконечное множество решений вида $(x, y)$, где $x = -2y$.

4) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} 3(x - y) = 6(y + 1), \\ \frac{x}{3} - 1\frac{1}{3} = y \end{cases} $
Упростим первое уравнение, разделив обе части на 3: $ x - y = 2(y + 1) $
$ x - y = 2y + 2 $
$ x = 3y + 2 $
Упростим второе уравнение. Сначала преобразуем смешанную дробь: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$. $ \frac{x}{3} - \frac{4}{3} = y $
Умножим обе части на 3: $ x - 4 = 3y $
$ x = 3y + 4 $
Мы получили два выражения для $x$: $x = 3y + 2$ и $x = 3y + 4$. Приравняем их: $ 3y + 2 = 3y + 4 $
$ 2 = 4 $
Полученное равенство является ложным. Это означает, что система не имеет решений.
Ответ: решений нет.

5) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} \frac{x - y}{3} - \frac{1}{2} = \frac{x - y}{4}, \\ \frac{x - y}{2} = 4,5 + \frac{y - 1}{3} \end{cases} $
В первом уравнении перенесем члены с $(x-y)$ в одну сторону: $ \frac{x - y}{3} - \frac{x - y}{4} = \frac{1}{2} $
Приведем левую часть к общему знаменателю: $ (x - y) \cdot (\frac{4 - 3}{12}) = \frac{1}{2} $
$ (x - y) \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{2} $
$ x - y = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 $
Теперь подставим $x - y = 6$ во второе уравнение системы: $ \frac{6}{2} = 4,5 + \frac{y - 1}{3} $
$ 3 = 4,5 + \frac{y - 1}{3} $
$ 3 - 4,5 = \frac{y - 1}{3} $
$ -1,5 = \frac{y - 1}{3} $
$ -1,5 \cdot 3 = y - 1 $
$ -4,5 = y - 1 $
$ y = -4,5 + 1 = -3,5 $
Найдем $x$ из соотношения $x - y = 6$: $ x - (-3,5) = 6 $
$ x + 3,5 = 6 $
$ x = 6 - 3,5 = 2,5 $
Ответ: $x = 2,5; y = -3,5$.

6) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} \frac{x + y}{5} - \frac{y - x}{2} = x + \frac{3}{20}, \\ \frac{x - y}{4} + \frac{x + y}{3} = y - 7\frac{1}{24} \end{cases} $
Упростим первое уравнение. Умножим обе части на 20: $ 4(x + y) - 10(y - x) = 20x + 3 $
$ 4x + 4y - 10y + 10x = 20x + 3 $
$ 14x - 6y = 20x + 3 $
$ -6x - 6y = 3 $
Разделим на -3: $ 2x + 2y = -1 $
Упростим второе уравнение. Преобразуем $7\frac{1}{24} = \frac{169}{24}$. Умножим обе части на 24: $ 6(x - y) + 8(x + y) = 24y - 169 $
$ 6x - 6y + 8x + 8y = 24y - 169 $
$ 14x + 2y = 24y - 169 $
$ 14x - 22y = -169 $
Получили упрощенную систему: $ \begin{cases} 2x + 2y = -1, \\ 14x - 22y = -169 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $2y = -1 - 2x$. Подставим это выражение во второе уравнение, представив его как $14x - 11(2y) = -169$:
$ 14x - 11(-1 - 2x) = -169 $
$ 14x + 11 + 22x = -169 $
$ 36x = -169 - 11 $
$ 36x = -180 $
$ x = \frac{-180}{36} = -5 $
Теперь найдем $y$ из $2y = -1 - 2x$: $ 2y = -1 - 2(-5) = -1 + 10 = 9 $
$ y = \frac{9}{2} = 4,5 $
Ответ: $x = -5; y = 4,5$.

745. Показать, что система уравнений не имеет решений:

1) $ \begin{cases} 2x + y = 8, \\ 10x + 5y = 10; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 3x + 8y = -1, \\ x + 2\frac{2}{3}y = 5. \end{cases} $

1) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 2x + y = 8, \\ 10x + 5y = 10. \end{cases} $
Чтобы показать, что система не имеет решений, можно преобразовать уравнения. Умножим первое уравнение на 5:
$5 \cdot (2x + y) = 5 \cdot 8$
$10x + 5y = 40$
Теперь наша система выглядит следующим образом: $ \begin{cases} 10x + 5y = 40, \\ 10x + 5y = 10. \end{cases} $
Левые части уравнений идентичны, а правые — различны. Выражение $10x + 5y$ не может одновременно быть равным 40 и 10. Это противоречие.
Если вычесть второе уравнение из первого, мы получим:
$(10x + 5y) - (10x + 5y) = 40 - 10$
$0 = 30$
Полученное неверное числовое равенство доказывает, что система несовместна и не имеет решений.
Ответ: система не имеет решений.

2) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 3x + 8y = -1, \\ x + 2\frac{2}{3}y = 5. \end{cases} $
Сначала преобразуем смешанное число во втором уравнении в неправильную дробь:
$2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$
Теперь система имеет вид: $ \begin{cases} 3x + 8y = -1, \\ x + \frac{8}{3}y = 5. \end{cases} $
Умножим второе уравнение на 3, чтобы избавиться от дробного коэффициента:
$3 \cdot (x + \frac{8}{3}y) = 3 \cdot 5$
$3x + 8y = 15$
Теперь наша система выглядит так: $ \begin{cases} 3x + 8y = -1, \\ 3x + 8y = 15. \end{cases} $
Как и в предыдущем случае, левые части уравнений равны, а правые — нет. Это невозможно. Вычитая одно уравнение из другого, получаем:
$(3x + 8y) - (3x + 8y) = -1 - 15$
$0 = -16$
Это неверное равенство, следовательно, система не имеет решений.
Ответ: система не имеет решений.

746. Показать, что система уравнений имеет бесконечно много решений:

1) $\begin{cases} x = 5 - y, \\ y = 5 - x; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x + 3y = 13, \\ y = \frac{13 - 2x}{3}. \end{cases}$

1) Рассмотрим систему уравнений:$ \begin{cases} x = 5 - y, \\ y = 5 - x; \end{cases} $
Чтобы доказать, что система имеет бесконечно много решений, нужно показать, что уравнения в системе эквивалентны, то есть являются разными формами записи одного и того же линейного уравнения.
Преобразуем оба уравнения к стандартному виду $Ax + By = C$.
Для первого уравнения $x = 5 - y$:
Перенесем $y$ в левую часть уравнения, изменив знак:
$x + y = 5$.
Для второго уравнения $y = 5 - x$:
Перенесем $x$ в левую часть уравнения, изменив знак:
$x + y = 5$.
Так как оба уравнения приводятся к одному и тому же виду $x + y = 5$, они описывают одну и ту же прямую на координатной плоскости. Любая точка этой прямой является решением как первого, так и второго уравнения, следовательно, система имеет бесконечно много решений.
Также можно использовать метод подстановки. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения ($y = 5 - x$) в первое уравнение:
$x = 5 - (5 - x)$
$x = 5 - 5 + x$
$x = x$
Полученное тождество $x=x$ (или $0=0$) означает, что система имеет бесконечное множество решений.
Ответ: Уравнения в системе эквивалентны ($x+y=5$), поэтому система имеет бесконечно много решений.

2) Рассмотрим систему уравнений:$ \begin{cases} 2x + 3y = 13, \\ y = \frac{13 - 2x}{3}; \end{cases} $
Проверим, являются ли эти уравнения эквивалентными. Для этого преобразуем второе уравнение.
Возьмем второе уравнение: $y = \frac{13 - 2x}{3}$.
Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:
$3y = 3 \cdot \frac{13 - 2x}{3}$
$3y = 13 - 2x$
Теперь перенесем член $-2x$ в левую часть уравнения с противоположным знаком:
$2x + 3y = 13$.
Полученное уравнение полностью совпадает с первым уравнением системы. Это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую, и любая точка на этой прямой является решением системы. Следовательно, система имеет бесконечно много решений.
Альтернативно, применим метод подстановки. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$2x + 3 \left(\frac{13 - 2x}{3}\right) = 13$
Сократим множитель 3:
$2x + (13 - 2x) = 13$
$2x - 2x + 13 = 13$
$13 = 13$
Полученное верное числовое равенство $13 = 13$ (или $0=0$) подтверждает, что система имеет бесконечно много решений.
Ответ: Уравнения в системе эквивалентны ($2x+3y=13$), поэтому система имеет бесконечно много решений.

747. Подобрать такие значения $a$ и $c$, чтобы система уравнений

$$\begin{cases} x + y = 5 \\ ax + 3y = c \end{cases}$$

имела:

1) единственное решение;

2) бесконечно много решений;

3) не имела решений.

Рассмотрим данную систему уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = 5 \\ ax + 3y = c \end{cases} $$

Это система двух линейных уравнений с двумя переменными. Общий вид такой системы:

$$ \begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases} $$

В нашем случае коэффициенты равны: $A_1=1$, $B_1=1$, $C_1=5$, $A_2=a$, $B_2=3$, $C_2=c$. Количество решений системы зависит от соотношения этих коэффициентов.

1) единственное решение;

Система имеет единственное решение, если прямые, которые задают уравнения, пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их угловые коэффициенты различны, то есть когда отношение коэффициентов при $x$ не равно отношению коэффициентов при $y$. Математически это условие выражается так:

$$ \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2} $$

Подставим значения из нашей системы:

$$ \frac{1}{a} \neq \frac{1}{3} $$

Это неравенство выполняется, если $a \neq 3$. При этом параметр $c$ может принимать любое значение, так как он влияет только на свободный член, а не на наклон прямой. Чтобы подобрать конкретные значения, выберем любое число $a$, не равное 3, и любое число $c$.

Ответ: система имеет единственное решение при $a \neq 3$ и любом значении $c$. Например, можно подобрать $a=2, c=5$.

2) бесконечно много решений;

Система имеет бесконечно много решений, если оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Это означает, что все коэффициенты одного уравнения пропорциональны коэффициентам другого. Условие для этого:

$$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $$

Подставим наши значения:

$$ \frac{1}{a} = \frac{1}{3} = \frac{5}{c} $$

Из равенства $ \frac{1}{a} = \frac{1}{3} $ следует, что $a=3$. Из равенства $ \frac{1}{3} = \frac{5}{c} $ следует, что $c = 3 \cdot 5 = 15$. Следовательно, система имеет бесконечно много решений только при этих конкретных значениях $a$ и $c$.

Ответ: $a=3, c=15$.

3) не имела решений.

Система не имеет решений, если уравнения описывают параллельные, но не совпадающие прямые. Это означает, что отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов. Условие для коэффициентов:

$$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $$

Подставим наши значения:

$$ \frac{1}{a} = \frac{1}{3} \neq \frac{5}{c} $$

Из равенства $ \frac{1}{a} = \frac{1}{3} $ получаем $a=3$. Из неравенства $ \frac{1}{3} \neq \frac{5}{c} $ получаем $c \neq 3 \cdot 5$, то есть $c \neq 15$. Таким образом, чтобы система не имела решений, нужно выбрать $a=3$ и любое значение $c$, не равное 15.

Ответ: система не имеет решений при $a = 3$ и $c \neq 15$. Например, можно подобрать $a=3, c=10$.