Страница 257 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

757. Найти значение числового выражения:

1) $(-1,5 + 4 - 2,5)(-6);$

2) $(2 - 3 - 7 + 7,9)^2;$

3) $(\frac{1}{5} - \frac{1}{4}):(-1,6 - 3,3 + 5);$

4) $(2 - 5 + 7 - 1)^2 : (-3)^2 - 21;$

5) $\frac{0,25-1\frac{1}{5}}{-3\frac{4}{5}+1,9} + \frac{10-2,5}{\frac{1}{2}-0,75};$

6) $\frac{(0,2)^2 + 0,96}{4,5} + \frac{1}{9}.$

1) $(-1,5+4-2,5)(-6)$

Решение данного выражения выполняется в два действия. Сначала находим значение выражения в скобках, а затем выполняем умножение.

1. Вычислим значение в скобках: $-1,5+4-2,5$

$-1,5 - 2,5 + 4 = -4 + 4 = 0$

2. Умножим полученный результат на $-6$:

$0 \cdot (-6) = 0$

Ответ: 0

2) $(2-3-7+7,9)^2$

Сначала выполним действия в скобках, затем возведем результат в квадрат.

1. Вычислим значение в скобках: $2-3-7+7,9$

$2 - 3 - 7 + 7,9 = -1 - 7 + 7,9 = -8 + 7,9 = -0,1$

2. Возведем полученное число в квадрат:

$(-0,1)^2 = (-0,1) \cdot (-0,1) = 0,01$

Ответ: 0,01

3) $(\frac{1}{5}-\frac{1}{4}):(-1,6-3,3+5)$

Выражение решается по действиям: сначала вычисления в каждой из скобок, затем деление.

1. Вычислим значение в первой скобке: $\frac{1}{5}-\frac{1}{4}$

Приведем дроби к общему знаменателю 20:

$\frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{4}{20} - \frac{5}{20} = -\frac{1}{20}$

2. Вычислим значение во второй скобке: $-1,6-3,3+5$

$-1,6 - 3,3 + 5 = -4,9 + 5 = 0,1$

3. Выполним деление результатов. Переведем десятичную дробь $0,1$ в обыкновенную: $0,1 = \frac{1}{10}$.

$-\frac{1}{20} : \frac{1}{10} = -\frac{1}{20} \cdot \frac{10}{1} = -\frac{10}{20} = -\frac{1}{2} = -0,5$

Ответ: -0,5

4) $(2-5+7-1)^2:(-3)^2-21$

Соблюдаем порядок действий: сначала вычисления в скобках, затем возведение в степень, потом деление и, наконец, вычитание.

1. Вычислим значение в скобках: $2-5+7-1$

$2 - 5 + 7 - 1 = -3 + 7 - 1 = 4 - 1 = 3$

2. Подставим результат в выражение: $3^2 : (-3)^2 - 21$

3. Выполним возведение в степень:

$3^2 = 9$

$(-3)^2 = 9$

4. Выражение примет вид: $9 : 9 - 21$

5. Выполним деление: $9 : 9 = 1$

6. Выполним вычитание: $1 - 21 = -20$

Ответ: -20

5) $\frac{0,25-1\frac{1}{5}}{-3\frac{4}{5}+1,9}+\frac{10-2,5}{\frac{1}{2}-0,75}$

Решим по частям, сначала вычислив значение каждой дроби, а затем сложив результаты. Для удобства вычислений будем использовать десятичные дроби.

1. Вычислим значение первой дроби $\frac{0,25-1\frac{1}{5}}{-3\frac{4}{5}+1,9}$

Переведем смешанные числа в десятичные дроби: $1\frac{1}{5} = 1,2$; $-3\frac{4}{5} = -3,8$.

Числитель: $0,25 - 1,2 = -0,95$

Знаменатель: $-3,8 + 1,9 = -1,9$

Значение дроби: $\frac{-0,95}{-1,9} = \frac{95}{190} = \frac{1}{2} = 0,5$

2. Вычислим значение второй дроби $\frac{10-2,5}{\frac{1}{2}-0,75}$

Переведем $\frac{1}{2}$ в десятичную дробь: $\frac{1}{2} = 0,5$.

Числитель: $10 - 2,5 = 7,5$

Знаменатель: $0,5 - 0,75 = -0,25$

Значение дроби: $\frac{7,5}{-0,25} = -\frac{750}{25} = -30$

3. Сложим полученные значения:

$0,5 + (-30) = 0,5 - 30 = -29,5$

Ответ: -29,5

6) $\frac{(0,2)^2+0,96}{4,5}+\frac{1}{9}$

Сначала вычислим значение дроби, а затем прибавим $\frac{1}{9}$.

1. Вычислим числитель дроби: $(0,2)^2+0,96$

$0,04 + 0,96 = 1$

2. Дробь принимает вид: $\frac{1}{4,5}$

Чтобы упростить дробь, избавимся от десятичного числа в знаменателе. $4,5 = \frac{45}{10} = \frac{9}{2}$.

$\frac{1}{4,5} = \frac{1}{\frac{9}{2}} = 1 \cdot \frac{2}{9} = \frac{2}{9}$

3. Теперь выполним сложение:

$\frac{2}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2+1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

758. Сумма двух чисел равна 30. Одно из чисел $a$. Записать удвоенное произведение этих чисел. $2a(30-a)$. Вычислить значение этого произведения при $a=-2$.

Пусть одно число равно $a$, а второе число равно $b$. По условию задачи, их сумма равна 30.
$a + b = 30$
Выразим второе число $b$ через $a$:
$b = 30 - a$
Таким образом, мы имеем два числа: $a$ и $(30 - a)$.

Записать удвоенное произведение этих чисел.

Произведение этих двух чисел равно $a \cdot (30 - a)$.
Удвоенное произведение — это результат умножения их произведения на 2. Составим выражение:
$2 \cdot a \cdot (30 - a)$
Также можно раскрыть скобки и представить выражение в виде многочлена:
$2a(30 - a) = 60a - 2a^2$
Оба выражения, $2a(30-a)$ и $60a - 2a^2$, являются верной записью.
Ответ: $2a(30-a)$.

Вычислить значение этого произведения при a = -2.

Подставим значение $a = -2$ в полученное выражение для удвоенного произведения.
$2 \cdot a \cdot (30 - a) = 2 \cdot (-2) \cdot (30 - (-2))$
Сначала выполним вычисление в скобках:
$30 - (-2) = 30 + 2 = 32$
Теперь вычислим окончательное значение:
$2 \cdot (-2) \cdot 32 = -4 \cdot 32 = -128$
Ответ: -128.

759. Составить выражение, показывающее, сколько единиц содержится в натуральном числе, состоящем из $a$ сотен, $b$ десятков и $c$ единиц. Сколько единиц в числе, написанном теми же цифрами, но в обратном порядке?

Составить выражение, показывающее, сколько единиц содержится в натуральном числе, состоящем из a сотен, b десятков и c единиц.

Чтобы найти общее количество единиц в числе, нужно представить его в виде суммы разрядных слагаемых. Каждое разрядное слагаемое показывает, сколько единиц содержится в данном разряде.

Число состоит из:

1. a сотен. В одной сотне содержится 100 единиц, следовательно, в a сотнях содержится $a \cdot 100$ единиц.

2. b десятков. В одном десятке содержится 10 единиц, следовательно, в b десятках содержится $b \cdot 10$ единиц.

3. c единиц. Это соответствует $c \cdot 1 = c$ единицам.

Общее количество единиц в данном натуральном числе равно сумме единиц из каждого разряда. Таким образом, искомое выражение имеет вид:

$100a + 10b + c$

Ответ: $100a + 10b + c$.

Сколько единиц в числе, написанном теми же цифрами, но в обратном порядке?

В исходном числе цифра a обозначает сотни, b — десятки, а c — единицы. Если написать число теми же цифрами, но в обратном порядке, то разряды, которые занимают эти цифры, поменяются.

В новом числе:

1. Цифра c, ранее обозначавшая единицы, теперь будет обозначать сотни. Количество единиц от этого разряда будет $c \cdot 100$.

2. Цифра b, обозначавшая десятки, останется на своем месте и будет по-прежнему обозначать десятки. Количество единиц от этого разряда будет $b \cdot 10$.

3. Цифра a, ранее обозначавшая сотни, теперь будет обозначать единицы. Количество единиц от этого разряда будет $a \cdot 1 = a$.

Сложив количество единиц из каждого разряда нового числа, получим выражение:

$100c + 10b + a$

Ответ: $100c + 10b + a$.

760. Сколько граммов содержат $a$ килограммов и $c$ граммов? Ответ записать выражением.

Чтобы найти общее количество граммов, необходимо выразить все данные величины в граммах и сложить их. Нам даны $a$ килограммов и $c$ граммов.

Сначала переведем $a$ килограммов в граммы. Известно, что в одном килограмме содержится 1000 граммов: $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$.

Чтобы узнать, сколько граммов в $a$ килограммах, нужно количество килограммов, то есть $a$, умножить на 1000: $a \text{ кг} = a \cdot 1000 \text{ г} = 1000a \text{ г}$.

Теперь к полученному результату ($1000a$ граммов) нужно прибавить оставшиеся $c$ граммов. Общее количество граммов будет равно сумме этих двух частей.

Итоговое выражение будет выглядеть так: $1000a + c$.

Ответ: $1000a + c$

761. Найти числовое значение алгебраического выражения:

1) $\frac{2a + b}{b - 2a}$ при $a = -\frac{1}{2}$, $b = -3;$

2) $\frac{4a^2 - 1}{2a + 1}$ при $a = \frac{1}{2}$.

1) Для нахождения числового значения алгебраического выражения $\frac{2a + b}{b - 2a}$ подставим в него заданные значения $a = -\frac{1}{2}$ и $b = -3$.

Сначала вычислим значение числителя:

$2a + b = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) + (-3) = -1 - 3 = -4$

Теперь вычислим значение знаменателя:

$b - 2a = -3 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -3 - (-1) = -3 + 1 = -2$

Теперь разделим значение числителя на значение знаменателя:

$\frac{-4}{-2} = 2$

Ответ: 2

2) Для нахождения числового значения алгебраического выражения $\frac{4a^2 - 1}{2a + 1}$ при $a = \frac{1}{2}$ можно сначала упростить данное выражение.

Числитель дроби $4a^2 - 1$ представляет собой формулу разности квадратов $(2a)^2 - 1^2$.

Разложим числитель на множители:

$4a^2 - 1 = (2a - 1)(2a + 1)$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\frac{(2a - 1)(2a + 1)}{2a + 1}$

При $a = \frac{1}{2}$ знаменатель $2a+1$ не равен нулю ($2 \cdot \frac{1}{2} + 1 = 2 \neq 0$), поэтому мы можем сократить дробь на $(2a + 1)$:

$\frac{(2a - 1)(2a + 1)}{2a + 1} = 2a - 1$

Теперь подставим значение $a = \frac{1}{2}$ в упрощенное выражение:

$2a - 1 = 2 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 1 - 1 = 0$

Ответ: 0

Решить уравнение (762-765).

762.

1) $2(x-1)=3(2x-1)$;

2) $3(1-x)=4x-11$;

3) $3-5(x-1)=x-2$;

4) $3(x-2)-2(x-1)=17.

1) Решим уравнение $2(x - 1) = 3(2x - 1)$.

Сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения, умножив число перед скобкой на каждый член внутри скобки:

$2 \cdot x - 2 \cdot 1 = 3 \cdot 2x - 3 \cdot 1$

$2x - 2 = 6x - 3$

Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а свободные члены (числа) — в другой. Перенесем $2x$ в правую часть (сменив знак на минус), а $-3$ — в левую (сменив знак на плюс):

$3 - 2 = 6x - 2x$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$1 = 4x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:

$x = \frac{1}{4}$

Ответ: $x = \frac{1}{4}$

2) Решим уравнение $3(1 - x) = 4x - 11$.

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$3 \cdot 1 - 3 \cdot x = 4x - 11$

$3 - 3x = 4x - 11$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую часть уравнения:

$3 + 11 = 4x + 3x$

Приведем подобные слагаемые:

$14 = 7x$

Найдем $x$, разделив обе части на 7:

$x = \frac{14}{7}$

$x = 2$

Ответ: $x = 2$

3) Решим уравнение $3 - 5(x - 1) = x - 2$.

Раскроем скобки в левой части. Обратим внимание, что перед 5 стоит знак минус, поэтому при умножении знаки внутри скобок изменятся:

$3 - 5 \cdot x - 5 \cdot (-1) = x - 2$

$3 - 5x + 5 = x - 2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$8 - 5x = x - 2$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:

$8 + 2 = x + 5x$

Приведем подобные слагаемые:

$10 = 6x$

Найдем $x$:

$x = \frac{10}{6}$

Сократим полученную дробь на 2:

$x = \frac{5}{3}$

Ответ: $x = \frac{5}{3}$

4) Решим уравнение $3(x - 2) - 2(x - 1) = 17$.

Раскроем обе скобки в левой части уравнения:

$(3 \cdot x - 3 \cdot 2) - (2 \cdot x - 2 \cdot 1) = 17$

$3x - 6 - (2x - 2) = 17$

Так как перед второй скобкой стоит знак минус, при ее раскрытии знаки всех слагаемых внутри меняются на противоположные:

$3x - 6 - 2x + 2 = 17$

Приведем подобные слагаемые в левой части (отдельно для слагаемых с $x$ и для чисел):

$(3x - 2x) + (-6 + 2) = 17$

$x - 4 = 17$

Перенесем -4 в правую часть, сменив знак:

$x = 17 + 4$

Выполним сложение:

$x = 21$

Ответ: $x = 21$

763. 1) $\frac{2x + 1}{3} = 6;$

2) $\frac{x - 7}{2} = \frac{1}{4};$

3) $\frac{x}{3} - \frac{1}{2} = \frac{x}{2};$

4) $\frac{4}{3}x - 1 = \frac{x}{9} + \frac{1}{6}.$

1) Чтобы решить уравнение $\frac{2x+1}{3} = 6$, необходимо избавиться от знаменателя. Для этого умножим обе части уравнения на 3.
$3 \cdot \frac{2x+1}{3} = 6 \cdot 3$
$2x + 1 = 18$
Теперь перенесем 1 из левой части в правую, изменив знак:
$2x = 18 - 1$
$2x = 17$
Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2:
$x = \frac{17}{2}$
$x = 8.5$
Ответ: $8.5$.

2) В уравнении $\frac{x-7}{2} = \frac{1}{4}$ мы имеем дело с пропорцией. Можно использовать правило перекрестного умножения: произведение крайних членов равно произведению средних.
$4 \cdot (x-7) = 2 \cdot 1$
Раскроем скобки:
$4x - 28 = 2$
Перенесем -28 в правую часть, изменив знак:
$4x = 2 + 28$
$4x = 30$
Разделим обе части на 4:
$x = \frac{30}{4}$
Сократим дробь на 2:
$x = \frac{15}{2}$
$x = 7.5$
Ответ: $7.5$.

3) Для решения уравнения $\frac{x}{3} - \frac{1}{2} = \frac{x}{2}$ сгруппируем слагаемые, содержащие $x$, в одной части, а свободные члены — в другой.
$\frac{x}{3} - \frac{x}{2} = \frac{1}{2}$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 2 — это 6.
$\frac{2x}{6} - \frac{3x}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{2x - 3x}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{-x}{6} = \frac{1}{2}$
Теперь умножим обе части уравнения на -6, чтобы найти $x$:
$x = \frac{1}{2} \cdot (-6)$
$x = -3$
Ответ: $-3$.

4) В уравнении $\frac{4}{3}x - 1 = \frac{x}{9} + \frac{1}{6}$ перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа вправо.
$\frac{4}{3}x - \frac{x}{9} = 1 + \frac{1}{6}$
Приведем дроби к общему знаменателю в каждой части уравнения. Для левой части (знаменатели 3 и 9) общий знаменатель — 9. Для правой части — 6.
$\frac{3 \cdot 4x}{9} - \frac{x}{9} = \frac{6}{6} + \frac{1}{6}$
$\frac{12x - x}{9} = \frac{6 + 1}{6}$
$\frac{11x}{9} = \frac{7}{6}$
Чтобы найти $x$, умножим обе части на $\frac{9}{11}$:
$x = \frac{7}{6} \cdot \frac{9}{11}$
$x = \frac{7 \cdot 9}{6 \cdot 11}$
Сократим 9 и 6 на их общий делитель 3:
$x = \frac{7 \cdot 3}{2 \cdot 11}$
$x = \frac{21}{22}$
Ответ: $\frac{21}{22}$.

764. 1) $7 - \frac{x}{2} = 3 + \frac{7x}{2};$

2) $9 - \frac{2x}{3} = 7 + \frac{x}{3};$

3) $\frac{x+3}{2} = x - 4;$

4) $2 - 3x = \frac{x-12}{2}.$

1) Исходное уравнение: $7 - \frac{x}{2} = 3 + \frac{7x}{2}$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на общий знаменатель, который равен 2:
$2 \cdot (7 - \frac{x}{2}) = 2 \cdot (3 + \frac{7x}{2})$
$14 - x = 6 + 7x$
Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а постоянные слагаемые — в другую. Перенесем $-x$ вправо и $6$ влево (меняя знаки):
$14 - 6 = 7x + x$
$8 = 8x$
Разделим обе части на 8, чтобы найти $x$:
$x = \frac{8}{8}$
$x = 1$
Ответ: 1

2) Исходное уравнение: $9 - \frac{2x}{3} = 7 + \frac{x}{3}$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель 3:
$3 \cdot (9 - \frac{2x}{3}) = 3 \cdot (7 + \frac{x}{3})$
$27 - 2x = 21 + x$
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:
$27 - 21 = x + 2x$
$6 = 3x$
Разделим обе части на 3:
$x = \frac{6}{3}$
$x = 2$
Ответ: 2

3) Исходное уравнение: $\frac{x+3}{2} = x - 4$.
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
$2 \cdot \frac{x+3}{2} = 2 \cdot (x - 4)$
$x + 3 = 2x - 8$
Перенесем $x$ в правую часть, а $-8$ в левую часть:
$3 + 8 = 2x - x$
$11 = x$
Ответ: 11

4) Исходное уравнение: $2 - 3x = \frac{x-12}{2}$.
Умножим обе части уравнения на 2:
$2 \cdot (2 - 3x) = 2 \cdot \frac{x-12}{2}$
$4 - 6x = x - 12$
Сгруппируем слагаемые: перенесем $-6x$ вправо, а $-12$ влево:
$4 + 12 = x + 6x$
$16 = 7x$
Найдем $x$, разделив обе части на 7:
$x = \frac{16}{7}$
Ответ: $\frac{16}{7}$

765. 1) $\frac{6x+7}{7} + \frac{3+5x}{8} = 3;$

2) $\frac{2x-4}{5} + \frac{2x-1}{3} = 1;$

3) $5 - \frac{2x-5}{3} = \frac{4x+2}{3},$

4) $\frac{x-5}{5} = \frac{2x+1}{3} - 7.$

1) $\frac{6x + 7}{7} + \frac{3 + 5x}{8} = 3$

Для решения уравнения избавимся от знаменателей. Найдем наименьшее общее кратное для чисел 7 и 8. Это 56. Умножим обе части уравнения на 56:

$56 \cdot \frac{6x + 7}{7} + 56 \cdot \frac{3 + 5x}{8} = 56 \cdot 3$

$8(6x + 7) + 7(3 + 5x) = 168$

Теперь раскроем скобки:

$48x + 56 + 21 + 35x = 168$

Сгруппируем и сложим подобные слагаемые:

$(48x + 35x) + (56 + 21) = 168$

$83x + 77 = 168$

Перенесем 77 в правую часть уравнения, изменив знак:

$83x = 168 - 77$

$83x = 91$

Найдем $x$:

$x = \frac{91}{83}$

Ответ: $x = \frac{91}{83}$

2) $\frac{2x - 4}{5} + \frac{2x - 1}{3} = 1$

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 3, которое равно 15. Умножим обе части уравнения на 15:

$15 \cdot \frac{2x - 4}{5} + 15 \cdot \frac{2x - 1}{3} = 15 \cdot 1$

$3(2x - 4) + 5(2x - 1) = 15$

Раскроем скобки:

$6x - 12 + 10x - 5 = 15$

Приведем подобные слагаемые:

$(6x + 10x) + (-12 - 5) = 15$

$16x - 17 = 15$

Перенесем -17 в правую часть с противоположным знаком:

$16x = 15 + 17$

$16x = 32$

Найдем $x$:

$x = \frac{32}{16}$

$x = 2$

Ответ: $x = 2$

3) $5 - \frac{2x - 5}{3} = \frac{4x + 2}{3}$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим все члены уравнения на 3:

$3 \cdot 5 - 3 \cdot \frac{2x - 5}{3} = 3 \cdot \frac{4x + 2}{3}$

$15 - (2x - 5) = 4x + 2$

Раскроем скобки. Обратите внимание, что знак минус перед дробью меняет знаки у всех членов в числителе:

$15 - 2x + 5 = 4x + 2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$20 - 2x = 4x + 2$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:

$20 - 2 = 4x + 2x$

$18 = 6x$

Найдем $x$:

$x = \frac{18}{6}$

$x = 3$

Ответ: $x = 3$

4) $\frac{x - 5}{5} = \frac{2x + 1}{3} - 7$

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 3, оно равно 15. Умножим все члены уравнения на 15:

$15 \cdot \frac{x - 5}{5} = 15 \cdot \frac{2x + 1}{3} - 15 \cdot 7$

$3(x - 5) = 5(2x + 1) - 105$

Раскроем скобки:

$3x - 15 = 10x + 5 - 105$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$3x - 15 = 10x - 100$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$100 - 15 = 10x - 3x$

$85 = 7x$

Найдем $x$:

$x = \frac{85}{7}$

Ответ: $x = \frac{85}{7}$