Страница 262 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

799. Сестра старше брата на 6 лет, а через год будет старше него в 2 раза. Сколько лет каждому из них?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $x$ — это возраст брата в настоящее время.

Пусть $y$ — это возраст сестры в настоящее время.

Из условия, что "сестра старше брата на 6 лет", мы можем составить первое уравнение:

$y = x + 6$

Через год возраст брата будет $x + 1$, а возраст сестры будет $y + 1$.

Из условия, что "через год будет старше него в 2 раза", мы можем составить второе уравнение:

$y + 1 = 2 \cdot (x + 1)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} y = x + 6 \\ y + 1 = 2(x + 1) \end{cases} $

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$(x + 6) + 1 = 2(x + 1)$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:

$x + 7 = 2x + 2$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$7 - 2 = 2x - x$

$5 = x$

Итак, мы нашли, что возраст брата сейчас составляет 5 лет.

Теперь найдем возраст сестры, подставив значение $x$ в первое уравнение:

$y = 5 + 6$

$y = 11$

Возраст сестры сейчас — 11 лет.

Проверка решения:

Сейчас сестре 11 лет, а брату 5 лет. Разница в возрасте: $11 - 5 = 6$ лет. Это соответствует первому условию.

Через год сестре будет 12 лет, а брату — 6 лет. $12$ ровно в 2 раза больше, чем $6$. Это соответствует второму условию.

Ответ: В настоящее время сестре 11 лет, а брату 5 лет.

800. Поезд прошёл расстояние 63 км между двумя станциями за 1 ч 15 мин. Часть пути он шёл под уклон со скоростью 42 км/ч, а остальную горизонтальную часть пути поезд шёл со скоростью 56 км/ч. Сколько километров пути уложено под уклон?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это расстояние в километрах, которое поезд прошёл под уклон. Тогда оставшаяся часть пути, которую поезд шёл по горизонтальной местности, составляет $(63 - x)$ км.

Известно, что время движения ($t$) можно найти по формуле $t = S/v$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Скорость поезда под уклон составляла $v_1 = 42$ км/ч, следовательно, время, затраченное на этот участок, равно $t_1 = \frac{x}{42}$ часов.

Скорость поезда на горизонтальном участке была $v_2 = 56$ км/ч, значит, время, затраченное на него, равно $t_2 = \frac{63 - x}{56}$ часов.

Общее время в пути, согласно условию, составляет 1 час 15 минут. Переведем это время в часы:

$1 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 1 + \frac{15}{60} \text{ ч} = 1 + \frac{1}{4} \text{ ч} = 1.25 \text{ ч}$.

Сумма времени движения на двух участках равна общему времени в пути. Составим уравнение:

$t_1 + t_2 = 1.25$

$\frac{x}{42} + \frac{63 - x}{56} = 1.25$

Чтобы решить это уравнение, найдём общий знаменатель для дробей. Наименьшее общее кратное для чисел 42 и 56 — это 168. Умножим обе части уравнения на 168, чтобы избавиться от дробей:

$168 \cdot \left(\frac{x}{42}\right) + 168 \cdot \left(\frac{63 - x}{56}\right) = 168 \cdot 1.25$

Выполним вычисления:

$(168 / 42) \cdot x + (168 / 56) \cdot (63 - x) = 210$

$4x + 3(63 - x) = 210$

Теперь раскроем скобки и решим линейное уравнение:

$4x + 189 - 3x = 210$

$x + 189 = 210$

$x = 210 - 189$

$x = 21$

Таким образом, расстояние, которое поезд прошёл под уклон, составляет 21 км.

Для проверки правильности решения можно вычислить время, затраченное на каждый участок. Время на путь под уклон: $\frac{21 \text{ км}}{42 \text{ км/ч}} = 0.5$ часа. Расстояние на горизонтальном участке: $63 - 21 = 42$ км. Время на горизонтальном участке: $\frac{42 \text{ км}}{56 \text{ км/ч}} = 0.75$ часа. Общее время: $0.5 + 0.75 = 1.25$ часа, что соответствует 1 часу 15 минутам. Решение верное.

Ответ: 21 км.

801. Дано выражение $(x^2 - 9)^2 - (x+3)^2$.

1) Разложить данное выражение на множители.

2) При каких значениях $x$ значение выражения равно нулю?

3) Записать данное выражение в виде многочлена стандартного вида.

4) Найти числовое значение выражения при $x=-3$, $x=3$.

1) Разложить данное выражение на множители.

Дано выражение $(x^2-9)^2-(x+3)^2$. Заметим, что выражение в первой скобке, $x^2-9$, является разностью квадратов: $x^2-9 = x^2-3^2 = (x-3)(x+3)$. Подставим это в исходное выражение: $$ ((x-3)(x+3))^2 - (x+3)^2 $$ Используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$, получаем: $$ (x-3)^2(x+3)^2 - (x+3)^2 $$ Теперь можно вынести общий множитель $(x+3)^2$ за скобки: $$ (x+3)^2 ((x-3)^2 - 1) $$ Выражение во вторых скобках, $(x-3)^2 - 1$, также является разностью квадратов, где $a = x-3$ и $b=1$. Применим формулу $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$: $$ (x-3)^2 - 1^2 = ((x-3)-1)((x-3)+1) = (x-4)(x-2) $$ Таким образом, окончательное разложение на множители имеет вид: $$ (x+3)^2(x-2)(x-4) $$ Ответ: $(x-2)(x-4)(x+3)^2$.

2) При каких значениях x значение выражения равно нулю?

Значение выражения равно нулю, когда его разложенная на множители форма равна нулю. Приравняем полученное в пункте 1) выражение к нулю: $$ (x-2)(x-4)(x+3)^2 = 0 $$ Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим каждый множитель:
1) $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$
2) $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$
3) $(x + 3)^2 = 0 \Rightarrow x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$
Следовательно, выражение обращается в нуль при трех значениях $x$.
Ответ: $x = -3, x = 2, x = 4$.

3) Записать данное выражение в виде многочлена стандартного вида.

Для приведения выражения к многочлену стандартного вида раскроем скобки в исходном выражении $(x^2 - 9)^2 - (x + 3)^2$, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Раскроем первую скобку: $$ (x^2 - 9)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 9 + 9^2 = x^4 - 18x^2 + 81 $$ Раскроем вторую скобку: $$ (x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9 $$ Теперь выполним вычитание: $$ (x^4 - 18x^2 + 81) - (x^2 + 6x + 9) = x^4 - 18x^2 + 81 - x^2 - 6x - 9 $$ Приведем подобные члены, расположив их в порядке убывания степеней $x$: $$ x^4 + (-18x^2 - x^2) - 6x + (81 - 9) = x^4 - 19x^2 - 6x + 72 $$ Ответ: $x^4 - 19x^2 - 6x + 72$.

4) Найти числовое значение выражения при x=-3, x=3.

Для нахождения числовых значений подставим $x$ в одну из форм выражения. Удобно использовать исходную форму $(x^2 - 9)^2 - (x + 3)^2$.
При $x = -3$: $$ ((-3)^2 - 9)^2 - (-3 + 3)^2 = (9 - 9)^2 - (0)^2 = 0^2 - 0 = 0 $$ При $x = 3$: $$ ((3)^2 - 9)^2 - (3 + 3)^2 = (9 - 9)^2 - (6)^2 = 0^2 - 36 = 0 - 36 = -36 $$ Ответ: при $x = -3$ значение выражения равно 0; при $x = 3$ значение выражения равно -36.

802. 1) Разложить на множители каждое из выражений:

$A=(2x-3)^2-(x+2)^2$,

$B=(2x^2-2x)-10x+10.$

2) При каких значениях $x$ значение каждого выражения равно нулю?

1) Разложим на множители каждое из выражений:

Выражение A:

Для разложения выражения $A = (2x-3)^2 - (x+2)^2$ воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В нашем случае $a = 2x-3$ и $b = x+2$.

$A = ((2x-3) - (x+2))((2x-3) + (x+2))$

Раскроем скобки внутри каждой из групп:

$A = (2x-3-x-2)(2x-3+x+2)$

Приведем подобные слагаемые в каждой скобке:

$A = (x-5)(3x-1)$

Ответ: $A = (x-5)(3x-1)$.

Выражение B:

Для выражения $B = (2x^2-2x) - 10x + 10$ сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки. В первой скобке вынесем $2x$, а из второй группы слагаемых $(-10x+10)$ вынесем $-10$.

$B = 2x(x-1) - 10(x-1)$

Теперь мы видим общий множитель $(x-1)$, который можно вынести за скобки:

$B = (x-1)(2x-10)$

Из второго множителя $(2x-10)$ можно вынести общий множитель 2:

$B = (x-1) \cdot 2(x-5)$

Таким образом, получаем:

$B = 2(x-1)(x-5)$

Ответ: $B = 2(x-1)(x-5)$.

2) Найдем, при каких значениях $x$ значение каждого выражения равно нулю.

Для выражения A:

Приравняем разложенное на множители выражение к нулю:

$A = (x-5)(3x-1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому:

$x-5=0$ или $3x-1=0$

Из первого уравнения получаем $x_1 = 5$.

Из второго уравнения получаем $3x = 1$, откуда $x_2 = \frac{1}{3}$.

Ответ: при $x=5$ или $x=\frac{1}{3}$.

Для выражения B:

Приравняем разложенное на множители выражение к нулю:

$B = 2(x-1)(x-5) = 0$

Поскольку $2 \neq 0$, то один из других множителей должен быть равен нулю:

$x-1=0$ или $x-5=0$

Из первого уравнения получаем $x_1 = 1$.

Из второго уравнения получаем $x_2 = 5$.

Ответ: при $x=1$ или $x=5$.

803. 1) При каких значениях $k$ и $b$ график функции $y = kx + b$ проходит через точки $(-1; 1)$, $(2; -3)$?

2) Проходит ли график функции $y = -2x - 1$ через точку $(-3; 5)$? $(-1; 2)$?

3) Построить график функции $y = -2x - 1$. Найти координаты точек пересечения графика с осями координат.

4) При каком значении $x$ значение функции $y = -2x - 1$ равно нулю?

5) Указать несколько целых значений $x$, при которых значения функции $y = -2x - 1$ положительны (отрицательны).

6) Найти координаты точки пересечения графика функции $y = -2x - 1$ с графиком функции $y = 5$.

1) Чтобы график функции $y = kx + b$ проходил через заданные точки, их координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим координаты точек $(-1; 1)$ и $(2; -3)$ в уравнение $y = kx + b$ и получим систему из двух уравнений.

Для точки $(-1; 1)$:

$1 = k \cdot (-1) + b$

$1 = -k + b$

Для точки $(2; -3)$:

$-3 = k \cdot 2 + b$

$-3 = 2k + b$

Теперь решим получившуюся систему уравнений:

$\begin{cases} b - k = 1 \\ b + 2k = -3 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(b + 2k) - (b - k) = -3 - 1$

$3k = -4$

$k = -\frac{4}{3}$

Теперь найдем $b$, подставив значение $k$ в первое уравнение $b - k = 1$:

$b - (-\frac{4}{3}) = 1$

$b + \frac{4}{3} = 1$

$b = 1 - \frac{4}{3} = \frac{3}{3} - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$

Ответ: $k = -\frac{4}{3}$, $b = -\frac{1}{3}$.

2) Чтобы проверить, проходит ли график функции $y = -2x - 1$ через точку, нужно подставить координаты точки в уравнение. Если получится верное равенство, то точка принадлежит графику.

Проверка для точки $(-3; 5)$:

Подставляем $x = -3$ и $y = 5$:

$5 = -2(-3) - 1$

$5 = 6 - 1$

$5 = 5$

Равенство верное, значит, график проходит через точку $(-3; 5)$.

Проверка для точки $(-1; 2)$:

Подставляем $x = -1$ и $y = 2$:

$2 = -2(-1) - 1$

$2 = 2 - 1$

$2 = 1$

Равенство неверное, значит, график не проходит через точку $(-1; 2)$.

Ответ: Через точку $(-3; 5)$ график проходит, а через точку $(-1; 2)$ — не проходит.

3) График функции $y = -2x - 1$ — это прямая линия. Для ее построения достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих графику. Удобнее всего найти точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью ординат (осью $Oy$):

В этой точке координата $x$ равна нулю. Подставим $x = 0$ в уравнение функции:

$y = -2(0) - 1 = -1$

Координаты точки пересечения с осью $Oy$: $(0; -1)$.

Пересечение с осью абсцисс (осью $Ox$):

В этой точке координата $y$ равна нулю. Подставим $y = 0$ в уравнение функции:

$0 = -2x - 1$

$2x = -1$

$x = -\frac{1}{2}$ или $-0.5$

Координаты точки пересечения с осью $Ox$: $(-\frac{1}{2}; 0)$.

Для построения графика нужно на координатной плоскости отметить точки $(0; -1)$ и $(-\frac{1}{2}; 0)$ и провести через них прямую.

Ответ: Координаты точек пересечения с осями: с осью $Oy$ — $(0; -1)$, с осью $Ox$ — $(-\frac{1}{2}; 0)$.

4) Чтобы найти значение $x$, при котором значение функции $y = -2x - 1$ равно нулю, нужно решить уравнение $y = 0$.

$-2x - 1 = 0$

$2x = -1$

$x = -\frac{1}{2}$

Ответ: $x = -\frac{1}{2}$.

5) Найдем, при каких значениях $x$ значения функции $y = -2x - 1$ положительны, то есть $y > 0$.

$-2x - 1 > 0$

$-2x > 1$

Разделим обе части на -2, изменив знак неравенства на противоположный:

$x < -\frac{1}{2}$

Целые значения $x$, удовлетворяющие этому условию: $-1, -2, -3, \dots$

Несколько целых значений $x$, при которых функция положительна: $-1, -2, -5$.

Теперь найдем, при каких значениях $x$ значения функции отрицательны, то есть $y < 0$.

$-2x - 1 < 0$

$-2x < 1$

$x > -\frac{1}{2}$

Целые значения $x$, удовлетворяющие этому условию: $0, 1, 2, \dots$

Несколько целых значений $x$, при которых функция отрицательна: $0, 1, 10$.

Ответ: Значения функции положительны, например, при $x \in \{-1, -2, -3\}$. Значения функции отрицательны, например, при $x \in \{0, 1, 2\}$.

6) Точка пересечения двух графиков имеет координаты, которые удовлетворяют уравнениям обеих функций. В данном случае это $y = -2x - 1$ и $y = 5$.

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссу ($x$) точки пересечения:

$-2x - 1 = 5$

$-2x = 5 + 1$

$-2x = 6$

$x = \frac{6}{-2} = -3$

Ордината ($y$) точки пересечения нам уже известна из второго уравнения: $y = 5$.

Таким образом, координаты точки пересечения — $(-3; 5)$.

Ответ: $(-3; 5)$.

804. Команда сейнера по плану должна была вылавливать 60 ц рыбы ежедневно. Перевыполняя план ежедневно на 5 ц, команда выполнила плановое задание на 3 дня раньше срока и, кроме того, выловила 20 ц рыбы сверх плана. Сколько рыбы должна была выловить команда сейнера по плану?

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это плановое количество дней, за которое команда должна была выполнить задание. Тогда плановый объем улова составляет $60x$ центнеров рыбы.

Фактически команда работала на 3 дня меньше, то есть $x-3$ дня.

Ежедневно команда перевыполняла план на 5 ц, то есть вылавливала $60 + 5 = 65$ ц рыбы.

За фактическое время работы $(x-3)$ дня команда выловила $65(x-3)$ ц рыбы.

По условию, команда не только выполнила плановое задание, но и выловила 20 ц рыбы сверх плана. Это означает, что фактический улов равен плановому улову плюс 20 ц.

Составим уравнение, приравняв два выражения для фактического улова:

$65(x-3) = 60x + 20$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$65x - 195 = 60x + 20$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$65x - 60x = 20 + 195$

$5x = 215$

$x = \frac{215}{5}$

$x = 43$

Таким образом, плановое время на выполнение задания составляло 43 дня.

Теперь найдем, сколько рыбы команда должна была выловить по плану. Для этого умножим плановое количество дней на плановый ежедневный улов:

Плановый улов $= 60 \cdot x = 60 \cdot 43 = 2580$ ц.

Ответ: по плану команда сейнера должна была выловить 2580 ц рыбы.