Страница 266 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

823. У отца спросили, сколько лет его двум сыновьям. Отец ответил, что если к произведению чисел, означающих их года, прибавить сумму этих чисел, то будет 14. Сколько лет сыновьям?

Пусть возраст одного сына равен $x$ лет, а возраст второго сына — $y$ лет. По условию задачи, возраст выражается целым положительным числом.

Согласно условию, если к произведению чисел, означающих их года ($x \cdot y$), прибавить сумму этих чисел ($x + y$), то получится 14. Составим уравнение:

$x \cdot y + x + y = 14$

Для решения этого уравнения в целых числах применим метод разложения на множители. Для этого прибавим к обеим частям уравнения 1:

$xy + x + y + 1 = 14 + 1$

Теперь левую часть можно сгруппировать и разложить на множители:

$x(y + 1) + 1(y + 1) = 15$

$(x + 1)(y + 1) = 15$

Поскольку $x$ и $y$ — это возраст сыновей, они являются натуральными числами, то есть $x \ge 1$ и $y \ge 1$. Это означает, что множители $(x + 1)$ и $(y + 1)$ должны быть целыми числами, большими или равными 2.

Нам нужно найти пары целых чисел, произведение которых равно 15. Возможные пары множителей для числа 15: (1, 15) и (3, 5).

Так как $x+1 \ge 2$ и $y+1 \ge 2$, пара (1, 15) нам не подходит. Остается только одна возможная пара множителей: 3 и 5.

Рассмотрим этот случай:

Пусть $x + 1 = 3$ и $y + 1 = 5$.

Тогда $x = 3 - 1 = 2$.

И $y = 5 - 1 = 4$.

Если бы мы выбрали $x + 1 = 5$ и $y + 1 = 3$, то получили бы те же возрасты: 4 года и 2 года.

Проверим найденное решение: произведение возрастов $2 \cdot 4 = 8$. Сумма возрастов $2 + 4 = 6$. Сумма произведения и суммы $8 + 6 = 14$. Условие задачи выполняется.

Ответ: одному сыну 2 года, а другому 4 года.

824. Крестьянин менял зайцев на кур: брал за всяких двух зайцев по три курицы. Каждая курица снесла яйца — $\frac{1}{3}$ часть от числа всех куриц. Крестьянин, продавая яйца, брал за каждые 9 яиц по столько копеек, сколько каждая курица снесла яиц, и выручил 72 копейки. Сколько было кур и сколько зайцев?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $K$ — это количество кур, а $Z$ — количество зайцев.

Сначала определим количество кур, исходя из информации о продаже яиц.
1. Каждая курица снесла количество яиц, равное трети от общего числа кур. Следовательно, количество яиц от одной курицы составляет $ \frac{K}{3} $.
2. Общее количество яиц, снесенных всеми курицами, равно произведению числа кур на количество яиц от одной курицы: $ K \times \frac{K}{3} = \frac{K^2}{3} $.
3. Крестьянин продавал яйца партиями по 9 штук. Цена одной такой партии в копейках была равна количеству яиц, которое снесла одна курица, то есть $ \frac{K}{3} $ копеек.

Общая выручка от продажи всех яиц составила 72 копейки. Она вычисляется как произведение количества проданных партий яиц на цену одной партии.

Количество партий по 9 яиц равно общему количеству яиц, деленному на 9:

Количество партий = $ \frac{\text{Общее количество яиц}}{9} = \frac{K^2/3}{9} = \frac{K^2}{27} $.

Составим уравнение для общей выручки:

$ (\text{Количество партий}) \times (\text{Цена за партию}) = 72 $

$ \frac{K^2}{27} \times \frac{K}{3} = 72 $

Упростим левую часть уравнения:

$ \frac{K^3}{81} = 72 $

Теперь решим это уравнение относительно $K$:

$ K^3 = 72 \times 81 $

Чтобы найти кубический корень, разложим числа 72 и 81 на простые множители:

$ 72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2 $

$ 81 = 3^4 $

Подставим разложение в уравнение:

$ K^3 = (2^3 \times 3^2) \times 3^4 = 2^3 \times 3^6 $

Извлечем кубический корень из обеих частей:

$ K = \sqrt[3]{2^3 \times 3^6} = 2^{3/3} \times 3^{6/3} = 2^1 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18 $.

Таким образом, у крестьянина было 18 кур.

Теперь, зная количество кур, найдем количество зайцев. По условию, крестьянин менял 2 зайцев на 3 курицы. Это устанавливает следующую пропорцию между количеством зайцев ($Z$) и количеством кур ($K$):

$ \frac{Z}{K} = \frac{2}{3} $

Подставим известное значение $K=18$ в эту пропорцию:

$ \frac{Z}{18} = \frac{2}{3} $

Отсюда найдем $Z$:

$ Z = 18 \times \frac{2}{3} = 12 $.

Следовательно, у крестьянина было 12 зайцев.

Ответ: у крестьянина было 18 кур и 12 зайцев.