Номер 823, страница 266 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры VII класса - номер 823, страница 266.

Условие.

823. У отца спросили, сколько лет его двум сыновьям. Отец ответил, что если к произведению чисел, означающих их года, прибавить сумму этих чисел, то будет 14. Сколько лет сыновьям?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Пусть возраст одного сына равен $x$ лет, а возраст второго сына — $y$ лет. По условию задачи, возраст выражается целым положительным числом.

Согласно условию, если к произведению чисел, означающих их года ($x \cdot y$), прибавить сумму этих чисел ($x + y$), то получится 14. Составим уравнение:

$x \cdot y + x + y = 14$

Для решения этого уравнения в целых числах применим метод разложения на множители. Для этого прибавим к обеим частям уравнения 1:

$xy + x + y + 1 = 14 + 1$

Теперь левую часть можно сгруппировать и разложить на множители:

$x(y + 1) + 1(y + 1) = 15$

$(x + 1)(y + 1) = 15$

Поскольку $x$ и $y$ — это возраст сыновей, они являются натуральными числами, то есть $x \ge 1$ и $y \ge 1$. Это означает, что множители $(x + 1)$ и $(y + 1)$ должны быть целыми числами, большими или равными 2.

Нам нужно найти пары целых чисел, произведение которых равно 15. Возможные пары множителей для числа 15: (1, 15) и (3, 5).

Так как $x+1 \ge 2$ и $y+1 \ge 2$, пара (1, 15) нам не подходит. Остается только одна возможная пара множителей: 3 и 5.

Рассмотрим этот случай:

Пусть $x + 1 = 3$ и $y + 1 = 5$.

Тогда $x = 3 - 1 = 2$.

И $y = 5 - 1 = 4$.

Если бы мы выбрали $x + 1 = 5$ и $y + 1 = 3$, то получили бы те же возрасты: 4 года и 2 года.

Проверим найденное решение: произведение возрастов $2 \cdot 4 = 8$. Сумма возрастов $2 + 4 = 6$. Сумма произведения и суммы $8 + 6 = 14$. Условие задачи выполняется.

Ответ: одному сыну 2 года, а другому 4 года.