Номер 830, страница 267 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 830, страница 267.

Условие.

830. Доказать, что число $132^2 + 576^3$ делится на 12.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Для того чтобы доказать, что число $132^2 + 576^3$ делится на 12, мы должны показать, что оно делится на 3 и на 4, так как 3 и 4 — взаимно простые числа и их произведение равно 12. Однако, есть более простой способ: если каждое слагаемое в сумме делится на 12, то и вся сумма делится на 12.

1. Проверим делимость первого слагаемого $132^2$ на 12.

Сначала проверим, делится ли основание степени, число 132, на 12.

$132 \div 12 = 11$

Поскольку 132 делится на 12 без остатка, то и его квадрат $132^2$ также будет делиться на 12. Можно это показать, вынеся множитель 12:

$132^2 = (12 \times 11)^2 = 12^2 \times 11^2 = 12 \times (12 \times 11^2)$

Так как $132^2$ является произведением числа 12 и целого числа $(12 \times 11^2)$, оно делится на 12.

2. Проверим делимость второго слагаемого $576^3$ на 12.

Проверим, делится ли основание степени, число 576, на 12.

$576 \div 12 = 48$

Поскольку 576 делится на 12 без остатка, то и его куб $576^3$ также будет делиться на 12:

$576^3 = (12 \times 48)^3 = 12^3 \times 48^3 = 12 \times (12^2 \times 48^3)$

Так как $576^3$ является произведением числа 12 и целого числа $(12^2 \times 48^3)$, оно делится на 12.

Вывод.

Мы установили, что оба слагаемых, $132^2$ и $576^3$, делятся на 12. Сумма двух чисел, каждое из которых делится на некоторое число, также делится на это число.

Следовательно, сумма $132^2 + 576^3$ делится на 12, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.