Номер 837, страница 267 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

837. Вычислить сумму $S = \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 6} + \dots + \frac{1}{96 \cdot 98} + \frac{1}{98 \cdot 100}$.

Рассмотрим заданную сумму:

$$ S = \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 6} + \dots + \frac{1}{96 \cdot 98} + \frac{1}{98 \cdot 100} $$

Общий член этой суммы имеет вид $\frac{1}{2n(2n+2)}$, где $n$ пробегает значения от 1 до 49. Вынесем из знаменателя каждого слагаемого общий множитель $2 \cdot 2 = 4$:

$$ S = \frac{1}{4(1 \cdot 2)} + \frac{1}{4(2 \cdot 3)} + \dots + \frac{1}{4(49 \cdot 50)} $$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{4}$ за скобки:

$$ S = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{49 \cdot 50} \right) $$

Воспользуемся тождеством для разложения дробей вида $\frac{1}{k(k+1)}$ на простейшие:

$$ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{k+1-k}{k(k+1)} = \frac{k+1}{k(k+1)} - \frac{k}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} $$

Применив это тождество к каждому слагаемому в скобках, получим телескопическую сумму:

$$ S = \frac{1}{4} \left[ \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{48} - \frac{1}{49}\right) + \left(\frac{1}{49} - \frac{1}{50}\right) \right] $$

Все промежуточные слагаемые в скобках взаимно уничтожаются (например, $-\frac{1}{2}$ и $+\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{3}$ и $+\frac{1}{3}$ и так далее). В результате остаются только первый и последний члены:

$$ S = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{50} \right) $$

Теперь выполним вычисление:

$$ S = \frac{1}{4} \left( \frac{50 - 1}{50} \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{49}{50} = \frac{49}{200} $$

Ответ: $S = \frac{49}{200}$.