Номер 836, страница 267 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 836, страница 267.

Условие.

836. Вычислить сумму $S = \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{99 \cdot 101} + \frac{1}{101 \cdot 103}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Для вычисления данной суммы воспользуемся методом разложения дробей на простейшие. Этот метод позволяет представить каждую дробь в виде разности двух других дробей, что приведет к значительному упрощению выражения.

Каждый член суммы имеет вид $\frac{1}{n(n+2)}$, где $n$ — нечетное число. Представим эту дробь в виде разности:

$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2}$

Приводя к общему знаменателю, получаем:

$1 = A(n+2) + Bn$

Чтобы найти коэффициенты $A$ и $B$, подставим значения $n$, которые обращают в ноль знаменатели:

Если $n=0$, то $1 = A(0+2) \implies 1 = 2A \implies A = \frac{1}{2}$.

Если $n=-2$, то $1 = B(-2) \implies B = -\frac{1}{2}$.

Таким образом, мы получили общую формулу для разложения:

$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1/2}{n} - \frac{1/2}{n+2} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right)$

Теперь применим эту формулу к каждому слагаемому в нашей сумме $S$:

$S = \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{99 \cdot 101} + \frac{1}{101 \cdot 103}$

$S = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \dots + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{99} - \frac{1}{101}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{101} - \frac{1}{103}\right)$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$S = \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \dots + \left(\frac{1}{99} - \frac{1}{101}\right) + \left(\frac{1}{101} - \frac{1}{103}\right) \right]$

Внутри больших скобок мы видим, что соседние слагаемые с противоположными знаками взаимно уничтожаются (такой ряд называется телескопическим):

$S = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{3} - \cancel{\frac{1}{5}} + \cancel{\frac{1}{5}} - \cancel{\frac{1}{7}} + \dots + \cancel{\frac{1}{99}} - \cancel{\frac{1}{101}} + \cancel{\frac{1}{101}} - \frac{1}{103} \right]$

После сокращения в скобках остаются только первое и последнее слагаемые:

$S = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{103} \right)$

Теперь вычислим значение выражения в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $3 \cdot 103 = 309$:

$\frac{1}{3} - \frac{1}{103} = \frac{103}{309} - \frac{3}{309} = \frac{103 - 3}{309} = \frac{100}{309}$

Подставим полученный результат обратно в формулу для $S$:

$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{100}{309} = \frac{100}{2 \cdot 309} = \frac{50}{309}$

Ответ: $S = \frac{50}{309}$