Номер 838, страница 267 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 838, страница 267.

Условие.

838. Доказать, что ни при каких целых $x$ и $y$ равенство $x^2-y^2=1990$ не является верным.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Для доказательства того, что равенство $x^2 - y^2 = 1990$ неверно ни для каких целых $x$ и $y$, можно использовать несколько подходов. Рассмотрим два из них.

Способ 1: Анализ четности множителей

Представим левую часть уравнения в виде произведения, используя формулу разности квадратов: $(x - y)(x + y) = 1990$. Поскольку $x$ и $y$ по условию являются целыми числами, то их разность $(x - y)$ и сумма $(x + y)$ также являются целыми числами. Обозначим эти множители как $a = x - y$ и $b = x + y$. Чтобы исходные переменные $x$ и $y$ были целыми, необходимо, чтобы $a$ и $b$ имели одинаковую четность (оба должны быть четными или оба нечетными). Это следует из формул $x = \frac{a+b}{2}$ и $y = \frac{b-a}{2}$, где для целочисленности $x$ и $y$ требуется, чтобы числители $a+b$ и $b-a$ были четными.

Теперь проанализируем произведение $ab = 1990$. Число 1990 является четным, поэтому множители $a$ и $b$ не могут быть оба нечетными (так как произведение двух нечетных чисел всегда нечетно). Следовательно, оба множителя, $a$ и $b$, должны быть четными. Если $a$ и $b$ — четные числа, то их произведение $ab$ должно быть кратно 4 (так как если $a=2k$ и $b=2m$ для целых $k, m$, то $ab = 4km$). Однако число 1990 не делится нацело на 4, поскольку $1990 = 4 \times 497 + 2$. Мы пришли к противоречию: из предположения о существовании целых решений следует, что число 1990 должно быть кратно 4, но это не так. Следовательно, уравнение не имеет решений в целых числах.

Способ 2: Рассмотрение по модулю 4

Рассмотрим уравнение в терминах сравнений по модулю 4: $x^2 - y^2 \equiv 1990 \pmod{4}$. Сначала определим, какие остатки может давать квадрат целого числа при делении на 4. Если целое число $n$ четное ($n=2k$), то $n^2 = (2k)^2 = 4k^2 \equiv 0 \pmod{4}$. Если $n$ нечетное ($n=2k+1$), то $n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 \equiv 1 \pmod{4}$. Таким образом, любой квадрат целого числа ($x^2$ или $y^2$) может быть сравним только с 0 или 1 по модулю 4.

Исходя из этого, рассмотрим все возможные значения для разности $x^2 - y^2$ по модулю 4: $0-0=0$; $1-0=1$; $0-1 \equiv 3 \pmod{4}$; $1-1=0$. Следовательно, разность двух квадратов целых чисел может быть сравнима только с 0, 1 или 3 по модулю 4. Теперь найдем остаток от деления правой части уравнения на 4: $1990 = 4 \times 497 + 2$, то есть $1990 \equiv 2 \pmod{4}$. Уравнение принимает вид $x^2 - y^2 \equiv 2 \pmod{4}$. Это сравнение не может быть верным, так как левая часть никогда не сравнима с 2 по модулю 4. Это противоречие доказывает, что уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство $x^2 - y^2 = 1990$ не является верным ни при каких целых значениях $x$ и $y$.