Номер 834, страница 267 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 834, страница 267.

Условие.

834. Доказать, что при любых натуральных $m$ и $n$ значение выражения $(3m + n + 5)^5 (5m + 7n + 2)^4$ делится на 16.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Чтобы доказать, что значение выражения $(3m + n + 5)^5 (5m + 7n + 2)^4$ делится на 16 при любых натуральных $m$ и $n$, рассмотрим два множителя этого выражения.

Пусть $A = 3m + n + 5$ и $B = 5m + 7n + 2$.

Тогда исходное выражение можно записать как $A^5 B^4$.

Исследуем четность этих множителей. Для этого найдем их сумму:

$A + B = (3m + n + 5) + (5m + 7n + 2) = 8m + 8n + 7$.

Сумму можно представить в виде $A + B = 2(4m + 4n) + 7$. Так как $2(4m + 4n)$ — это всегда четное число, то сумма $A + B$ всегда является нечетным числом.

Сумма двух целых чисел является нечетной только в том случае, если одно из чисел четное, а другое — нечетное. Следовательно, для любых натуральных $m$ и $n$ один из множителей ($A$ или $B$) будет четным, а другой — нечетным.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Случай, когда $A$ — четное, а $B$ — нечетное.

Если $A$ — четное число, то его можно представить в виде $A = 2k$, где $k$ — некоторое целое число. Тогда выражение принимает вид:

$A^5 B^4 = (2k)^5 B^4 = 32k^5 B^4 = 16 \cdot (2k^5 B^4)$.

Поскольку $k$ и $B$ — целые числа, то $2k^5 B^4$ также является целым числом. Это означает, что в данном случае выражение делится на 16.

2. Случай, когда $A$ — нечетное, а $B$ — четное.

Если $B$ — четное число, то его можно представить в виде $B = 2k$, где $k$ — некоторое целое число. Тогда выражение принимает вид:

$A^5 B^4 = A^5 (2k)^4 = A^5 \cdot 16k^4 = 16 \cdot (A^5 k^4)$.

Поскольку $k$ и $A$ — целые числа, то $A^5 k^4$ также является целым числом. Это означает, что и в этом случае выражение делится на 16.

Так как для любых натуральных $m$ и $n$ выполняется один из этих двух случаев, и в каждом из них выражение делится на 16, то утверждение доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.