Номер 839, страница 267 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

839. Найти все пары целых чисел x и y, при которых справедливо равенство:

1) $x^2 + 2x = y^2 + 6$;

2) $x^2 - 8 = y^2 + 4y$.

1) Решим уравнение $x^2 + 2x = y^2 + 6$ в целых числах.

Преобразуем левую часть уравнения, выделив полный квадрат:

$x^2 + 2x + 1 - 1 = y^2 + 6$

$(x+1)^2 - 1 = y^2 + 6$

Перенесем слагаемые с переменными в одну сторону, а константы в другую:

$(x+1)^2 - y^2 = 7$

Разложим левую часть на множители как разность квадратов:

$(x+1-y)(x+1+y) = 7$

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то выражения в скобках $(x+1-y)$ и $(x+1+y)$ также являются целыми числами. Их произведение равно 7. Следовательно, они являются делителями числа 7. Рассмотрим все возможные пары целых делителей числа 7: (1, 7), (7, 1), (-1, -7), (-7, -1).

Для каждой пары решим систему уравнений:

а) $\begin{cases} x+1-y = 1 \\ x+1+y = 7 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2(x+1) = 8$, откуда $x+1=4$ и $x=3$. Подставив $x=3$ во второе уравнение, получим $3+1+y=7$, откуда $y=3$. Пара чисел: $(3, 3)$.

б) $\begin{cases} x+1-y = 7 \\ x+1+y = 1 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2(x+1) = 8$, откуда $x+1=4$ и $x=3$. Подставив $x=3$ во второе уравнение, получим $3+1+y=1$, откуда $y=-3$. Пара чисел: $(3, -3)$.

в) $\begin{cases} x+1-y = -1 \\ x+1+y = -7 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2(x+1) = -8$, откуда $x+1=-4$ и $x=-5$. Подставив $x=-5$ во второе уравнение, получим $-5+1+y=-7$, откуда $y=-3$. Пара чисел: $(-5, -3)$.

г) $\begin{cases} x+1-y = -7 \\ x+1+y = -1 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2(x+1) = -8$, откуда $x+1=-4$ и $x=-5$. Подставив $x=-5$ во второе уравнение, получим $-5+1+y=-1$, откуда $y=3$. Пара чисел: $(-5, 3)$.

Ответ: $(3, 3), (3, -3), (-5, -3), (-5, 3)$.

2) Решим уравнение $x^2 - 8 = y^2 + 4y$ в целых числах.

Преобразуем правую часть уравнения, выделив полный квадрат:

$x^2 - 8 = y^2 + 4y + 4 - 4$

$x^2 - 8 = (y+2)^2 - 4$

Перенесем слагаемые с переменными в одну сторону, а константы в другую:

$x^2 - (y+2)^2 = 8 - 4$

$x^2 - (y+2)^2 = 4$

Разложим левую часть на множители как разность квадратов:

$(x - (y+2))(x + (y+2)) = 4$

$(x-y-2)(x+y+2) = 4$

Так как $x$ и $y$ — целые числа, множители $(x-y-2)$ и $(x+y+2)$ также являются целыми числами. Обозначим их $A = x-y-2$ и $B = x+y+2$. Их произведение $A \cdot B = 4$.

Заметим, что сумма этих множителей $A+B = (x-y-2) + (x+y+2) = 2x$ является четным числом. Это означает, что множители $A$ и $B$ должны иметь одинаковую четность. Поскольку их произведение 4 — четное число, то оба множителя должны быть четными.

Рассмотрим все возможные пары четных делителей числа 4: (2, 2) и (-2, -2).

а) $\begin{cases} x-y-2 = 2 \\ x+y+2 = 2 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2x = 4$, откуда $x=2$. Подставив $x=2$ в первое уравнение, получим $2-y-2=2$, откуда $-y=2$ и $y=-2$. Пара чисел: $(2, -2)$.

б) $\begin{cases} x-y-2 = -2 \\ x+y+2 = -2 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2x = -4$, откуда $x=-2$. Подставив $x=-2$ в первое уравнение, получим $-2-y-2=-2$, откуда $-y=2$ и $y=-2$. Пара чисел: $(-2, -2)$.

Ответ: $(2, -2), (-2, -2)$.