Номер 846, страница 268 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

846. Разложить на множители:

1) $a^4 + 2a^2 - 3;$

2) $a^4 + 4;$

3) $a^5 + a^2 - a - 1;$

4) $a^4 - a^3 - 5a^2 - a - 6.$

1) Для разложения многочлена $a^4 + 2a^2 - 3$ на множители, введем замену переменной. Пусть $x = a^2$. Тогда исходное выражение примет вид квадратного трехчлена:

$x^2 + 2x - 3$

Разложим этот трехчлен на множители. Для этого найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, произведение корней равно -3, а их сумма равна -2. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Следовательно, $x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x - (-3)) = (x - 1)(x + 3)$.

Теперь вернемся к исходной переменной $a$, подставив $a^2$ вместо $x$:

$(a^2 - 1)(a^2 + 3)$

Выражение $(a^2 - 1)$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $b^2 - c^2 = (b-c)(b+c)$:

$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$

Таким образом, окончательное разложение на множители имеет вид:

$(a - 1)(a + 1)(a^2 + 3)$

Ответ: $(a - 1)(a + 1)(a^2 + 3)$.

2) Для разложения выражения $a^4 + 4$ на множители используем метод выделения полного квадрата. Добавим и вычтем $4a^2$, чтобы можно было свернуть часть выражения в полный квадрат суммы:

$a^4 + 4 = a^4 + 4a^2 + 4 - 4a^2$

Сгруппируем первые три слагаемых. Они образуют полный квадрат $(a^2+2)^2$:

$(a^4 + 4a^2 + 4) - 4a^2 = (a^2 + 2)^2 - 4a^2$

Теперь мы получили разность квадратов, так как $4a^2 = (2a)^2$. Применим формулу разности квадратов $b^2 - c^2 = (b-c)(b+c)$:

$(a^2 + 2)^2 - (2a)^2 = ((a^2 + 2) - 2a)((a^2 + 2) + 2a)$

Упорядочим слагаемые в каждом множителе:

$(a^2 - 2a + 2)(a^2 + 2a + 2)$

Ответ: $(a^2 - 2a + 2)(a^2 + 2a + 2)$.

3) Разложим многочлен $a^5 + a^2 - a - 1$ на множители методом группировки. Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(a^5 - a) + (a^2 - 1)$

Вынесем общий множитель $a$ из первой группы:

$a(a^4 - 1) + (a^2 - 1)$

Выражение $a^4 - 1$ является разностью квадратов: $(a^2)^2 - 1^2 = (a^2 - 1)(a^2 + 1)$. Подставим это в наше выражение:

$a(a^2 - 1)(a^2 + 1) + 1 \cdot (a^2 - 1)$

Теперь мы видим общий множитель $(a^2 - 1)$, который можно вынести за скобки:

$(a^2 - 1)(a(a^2 + 1) + 1)$

Раскроем скобки во втором множителе:

$(a^2 - 1)(a^3 + a + 1)$

Первый множитель $(a^2 - 1)$ также является разностью квадратов и раскладывается как $(a - 1)(a + 1)$.

Окончательное разложение:

$(a - 1)(a + 1)(a^3 + a + 1)$

Ответ: $(a - 1)(a + 1)(a^3 + a + 1)$.

4) Для разложения многочлена $a^4 - a^3 - 5a^2 - a - 6$ на множители применим метод группировки с предварительным преобразованием. Представим слагаемое $-5a^2$ в виде суммы $-6a^2 + a^2$:

$a^4 - a^3 - 5a^2 - a - 6 = a^4 - a^3 - 6a^2 + a^2 - a - 6$

Теперь сгруппируем слагаемые:

$(a^4 - a^3 - 6a^2) + (a^2 - a - 6)$

Вынесем общий множитель $a^2$ из первой группы:

$a^2(a^2 - a - 6) + 1(a^2 - a - 6)$

Мы видим общий множитель $(a^2 - a - 6)$, который можно вынести за скобки:

$(a^2 + 1)(a^2 - a - 6)$

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $a^2 - a - 6$. Найдем два числа, произведение которых равно -6, а сумма -1. Это числа -3 и 2.

Таким образом, $a^2 - a - 6 = (a - 3)(a + 2)$.

Окончательное разложение имеет вид:

$(a^2 + 1)(a - 3)(a + 2)$

Ответ: $(a^2 + 1)(a - 3)(a + 2)$.