Номер 848, страница 268 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

848. Доказать, что если $x, y, z$ положительны, то равенство $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ является верным только тогда, когда $x = y = z$.

Требуется доказать, что для положительных чисел $x, y, z$ равенство $x^3+y^3+z^3=3xyz$ является верным тогда и только тогда, когда $x=y=z$. Доказательство такого утверждения (эквивалентности) состоит из двух частей.

Сначала докажем, что если $x=y=z$, то равенство выполняется (прямое утверждение или достаточность). Пусть $x=y=z$. Подставим $y=x$ и $z=x$ в исходное равенство:
Левая часть: $x^3 + y^3 + z^3 = x^3 + x^3 + x^3 = 3x^3$.
Правая часть: $3xyz = 3 \cdot x \cdot x \cdot x = 3x^3$.
Так как левая и правая части равны ($3x^3 = 3x^3$), равенство верно.

Теперь докажем обратное утверждение (необходимость): если $x^3+y^3+z^3=3xyz$ и $x,y,z$ положительны, то $x=y=z$. Это можно сделать несколькими способами.

Способ 1: Алгебраические преобразования
Начнем с данного равенства и перенесем все члены в левую часть:
$x^3+y^3+z^3-3xyz=0$
Воспользуемся известной формулой разложения на множители:
$a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
Применив эту формулу для наших переменных, получим:
$(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
1. Первый множитель $(x+y+z)$. По условию, $x, y, z$ — положительные числа ($x>0, y>0, z>0$). Их сумма также будет строго положительной: $x+y+z > 0$. Таким образом, первый множитель не может быть равен нулю.
2. Следовательно, второй множитель должен быть равен нулю:
$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx = 0$
Умножим обе части этого равенства на 2, чтобы выделить полные квадраты:
$2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx = 0$
Перегруппируем слагаемые:
$(x^2-2xy+y^2) + (y^2-2yz+z^2) + (z^2-2zx+x^2) = 0$
$(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 = 0$
Сумма квадратов действительных чисел равна нулю только в том случае, если каждое из слагаемых равно нулю. Отсюда следует:
$(x-y)^2=0 \implies x-y=0 \implies x=y$
$(y-z)^2=0 \implies y-z=0 \implies y=z$
Из этих условий следует, что $x=y=z$.

Способ 2: Использование неравенства о средних (неравенство Коши)
Для любых неотрицательных чисел $a, b, c$ справедливо неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом:
$\frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}$
Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда $a=b=c$.
Применим это неравенство к положительным числам $x^3, y^3, z^3$:
$\frac{x^3+y^3+z^3}{3} \ge \sqrt[3]{x^3 y^3 z^3}$
$\frac{x^3+y^3+z^3}{3} \ge xyz$
$x^3+y^3+z^3 \ge 3xyz$
По условию задачи нам дано равенство $x^3+y^3+z^3 = 3xyz$. Это означает, что в неравенстве Коши достигается случай равенства. Это возможно тогда и только тогда, когда числа, к которым применялось неравенство, равны между собой:
$x^3=y^3=z^3$
Поскольку $x,y,z$ — положительные действительные числа, из равенства их кубов следует равенство самих чисел:
$x=y=z$

Обе части утверждения ("тогда и только тогда") доказаны обоими способами.
Ответ: Утверждение доказано. Равенство $x^3+y^3+z^3=3xyz$ для положительных $x, y, z$ является верным только тогда, когда $x=y=z$.