Номер 854, страница 269 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 854, страница 269.

Условие.

854. В колбе имеется раствор поваренной соли. Из колбы в пробирку отливают пятую часть раствора и выпаривают до тех пор, пока процентное содержание соли в пробирке не повысится вдвое. После этого выпаренный раствор выливают обратно в колбу. В результате содержание соли в колбе повышается на 3 %. Определить исходное процентное содержание соли.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения задачи введем переменные. Пусть начальная масса раствора в колбе равна $M$, а начальное процентное содержание соли – $p\%$. Тогда концентрация соли, выраженная в долях, равна $x = \frac{p}{100}$, а масса соли в исходном растворе составляет $m_{соли} = M \cdot x$.

Из колбы в пробирку отливают пятую часть раствора, масса которой равна $\frac{1}{5}M$. Масса соли в этой части раствора составляет $\frac{1}{5}Mx$. После этого в колбе остается $\frac{4}{5}M$ раствора, в котором содержится $\frac{4}{5}Mx$ соли.

Далее раствор в пробирке выпаривают. В процессе выпаривания удаляется только вода, а масса соли, равная $\frac{1}{5}Mx$, остается неизменной. По условию, концентрация соли в пробирке удваивается и становится равной $2x$. Новую массу раствора в пробирке, $M_{проб, нов}$, можно найти из определения концентрации: $2x = \frac{\text{масса соли}}{\text{масса раствора}} = \frac{\frac{1}{5}Mx}{M_{проб, нов}}$. Отсюда следует, что новая масса раствора в пробирке равна $M_{проб, нов} = \frac{\frac{1}{5}Mx}{2x} = \frac{1}{10}M$.

Затем выпаренный раствор из пробирки выливают обратно в колбу. Общая масса соли в колбе становится равной сумме масс соли в обеих частях, то есть возвращается к исходному значению: $m_{соли, фин} = \frac{4}{5}Mx + \frac{1}{5}Mx = Mx$. Общая масса раствора в колбе складывается из массы оставшегося в колбе раствора и массы выпаренного раствора из пробирки: $M_{фин} = \frac{4}{5}M + \frac{1}{10}M = \frac{8}{10}M + \frac{1}{10}M = \frac{9}{10}M$.

Новая, финальная концентрация соли в колбе, $x_{фин}$, равна отношению финальной массы соли к финальной массе раствора: $x_{фин} = \frac{m_{соли, фин}}{M_{фин}} = \frac{Mx}{\frac{9}{10}M} = \frac{10}{9}x$.

По условию задачи, содержание соли в колбе повысилось на 3%. Это означает, что новое процентное содержание $p_{фин}$ на 3 единицы больше исходного $p$: $p_{фин} = p + 3$. Связь между процентным содержанием и концентрацией в долях выражается формулой $p = 100x$. Следовательно, $p_{фин} = 100x_{фин} = 100 \cdot \frac{10}{9}x = \frac{10}{9} \cdot (100x) = \frac{10}{9}p$.

Приравниваем два выражения для $p_{фин}$ и получаем уравнение: $p + 3 = \frac{10}{9}p$. Решим это уравнение относительно $p$: $3 = \frac{10}{9}p - p$ $3 = \frac{10p - 9p}{9}$ $3 = \frac{1}{9}p$ $p = 3 \cdot 9 = 27$.

Следовательно, исходное процентное содержание соли в растворе составляло 27%.

Ответ: 27%.