Номер 861, страница 270 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

861. Два пешехода прошли одинаковый путь. Первый половину всего пути шёл со скоростью 5 км/ч, а остающаяся часть пути — со скоростью 3 км/ч. Второй пешеход половину всего затраченного времени шёл со скоростью 5 км/ч, а остальное время — со скоростью 3 км/ч. Кто из них быстрее прошёл весь путь?

Для решения задачи сравним общее время, которое затратил каждый пешеход на прохождение всего пути. Обозначим весь одинаковый для обоих пешеходов путь как $S$. Тот, кто затратил меньше времени, и будет тем, кто прошел путь быстрее.

Расчет времени для первого пешехода

Первый пешеход прошел первую половину пути ($S/2$) со скоростью $v_1 = 5$ км/ч. Время, затраченное на этот участок, вычисляется по формуле $t = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}}$:

$t_{1a} = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S}{2 \cdot 5} = \frac{S}{10}$ часов.

Вторую половину пути ($S/2$) он шел со скоростью $v_2 = 3$ км/ч. Время, затраченное на этот участок:

$t_{1b} = \frac{S/2}{v_2} = \frac{S}{2 \cdot 3} = \frac{S}{6}$ часов.

Общее время $T_1$, затраченное первым пешеходом на весь путь, равно сумме времени, потраченного на каждый участок:

$T_1 = t_{1a} + t_{1b} = \frac{S}{10} + \frac{S}{6}$

Приводим дроби к общему знаменателю 30:

$T_1 = S \left( \frac{3}{30} + \frac{5}{30} \right) = S \left( \frac{8}{30} \right) = \frac{4S}{15}$ часов.

Расчет времени для второго пешехода

Второй пешеход половину всего затраченного времени шел со скоростью $v_1 = 5$ км/ч, а вторую половину времени — со скоростью $v_2 = 3$ км/ч. Обозначим общее время в пути для второго пешехода как $T_2$.

За первую половину времени ($T_2/2$) он прошел расстояние $S_a = v_1 \cdot \frac{T_2}{2} = 5 \frac{T_2}{2}$.

За вторую половину времени ($T_2/2$) он прошел расстояние $S_b = v_2 \cdot \frac{T_2}{2} = 3 \frac{T_2}{2}$.

Весь путь $S$ равен сумме этих двух расстояний:

$S = S_a + S_b = 5 \frac{T_2}{2} + 3 \frac{T_2}{2} = \frac{T_2}{2} (5+3) = \frac{8T_2}{2} = 4T_2$.

Из этого соотношения выразим общее время $T_2$ через путь $S$:

$T_2 = \frac{S}{4}$ часов.

Сравнение и вывод

Теперь сравним общее время, затраченное первым и вторым пешеходами:

Время первого пешехода: $T_1 = \frac{4S}{15}$.

Время второго пешехода: $T_2 = \frac{S}{4}$.

Чтобы сравнить эти два значения, нужно сравнить коэффициенты при $S$, то есть дроби $\frac{4}{15}$ и $\frac{1}{4}$. Приведем их к общему знаменателю 60:

$\frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{16}{60}$

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 15}{4 \cdot 15} = \frac{15}{60}$

Поскольку $\frac{16}{60} > \frac{15}{60}$, то и $T_1 > T_2$.

Это означает, что первый пешеход затратил на весь путь больше времени, чем второй. Следовательно, второй пешеход двигался быстрее.

Ответ: Второй пешеход прошёл весь путь быстрее.