Номер 858, страница 269 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

858. Два автобуса отправились одновременно из одного города в другой по одной и той же дороге. Первый двигался с постоянной скоростью $60 \text{ км/ч}$. Второй половину всего пути двигался со скоростью $50 \text{ км/ч}$, а остальную часть пути — со скоростью $70 \text{ км/ч}$. Какой из автобусов первым прибыл в другой город?

Для того чтобы определить, какой из автобусов прибудет первым, необходимо сравнить общее время, которое каждый из них затратил на весь путь. Автобус, затративший меньше времени, прибудет первым. Пусть всё расстояние между городами равно $S$ км.

Расчет времени для первого автобуса

Первый автобус двигался с постоянной скоростью $v_1 = 60$ км/ч. Время, которое он затратил на весь путь $S$, равно:
$t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{60}$ ч.

Расчет времени для второго автобуса

Второй автобус проехал первую половину пути ($S/2$) со скоростью $v_{2a} = 50$ км/ч и вторую половину пути ($S/2$) со скоростью $v_{2b} = 70$ км/ч. Его общее время в пути $t_2$ складывается из времени, затраченного на каждый участок:
Время на первом участке: $t_{2a} = \frac{S/2}{v_{2a}} = \frac{S}{2 \cdot 50} = \frac{S}{100}$ ч.
Время на втором участке: $t_{2b} = \frac{S/2}{v_{2b}} = \frac{S}{2 \cdot 70} = \frac{S}{140}$ ч.
Общее время в пути: $t_2 = t_{2a} + t_{2b} = \frac{S}{100} + \frac{S}{140}$.
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю (наименьшее общее кратное для 100 и 140 равно 700):
$t_2 = S \cdot (\frac{1}{100} + \frac{1}{140}) = S \cdot (\frac{7}{700} + \frac{5}{700}) = S \cdot \frac{12}{700} = \frac{3S}{175}$ ч.

Сравнение времени в пути

Теперь сравним время первого автобуса $t_1 = \frac{S}{60}$ и второго $t_2 = \frac{3S}{175}$. Для этого достаточно сравнить коэффициенты при $S$, то есть дроби $\frac{1}{60}$ и $\frac{3}{175}$. Воспользуемся перекрестным умножением:
Сравниваем $1 \cdot 175$ и $3 \cdot 60$.
Получаем $175$ и $180$.
Так как $175 < 180$, то и $\frac{1}{60} < \frac{3}{175}$.
Это означает, что $t_1 < t_2$, следовательно, первый автобус затратил на дорогу меньше времени и приехал раньше.

Альтернативное решение через среднюю скорость

Можно также сравнить средние скорости автобусов. Автобус с большей средней скоростью прибудет первым, так как они едут одинаковое расстояние.
Средняя скорость первого автобуса: $\bar{v}_1 = 60$ км/ч.
Средняя скорость второго автобуса вычисляется как отношение всего пути ко всему времени (или как среднее гармоническое для двух равных участков пути):
$\bar{v}_2 = \frac{S}{t_2} = \frac{S}{\frac{3S}{175}} = \frac{175}{3} \approx 58,33$ км/ч.
Поскольку $\bar{v}_1 > \bar{v}_2$ ($60$ км/ч $> 58,33$ км/ч), первый автобус в среднем двигался быстрее и, соответственно, прибыл первым.

Ответ: Первый автобус прибыл в другой город первым.