Номер 855, страница 269 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

855. Дорога из пункта А в пункт В длиной $11,5 \text{ км}$ идёт сначала в гору, затем по равнине и, наконец, под гору. Пешеход путь от А до В и обратно от В до А прошёл за $6 \text{ ч}$. Скорость его ходьбы в гору была $3 \text{ км/ч}$, по равнине — $4 \text{ км/ч}$, а под гору — $5 \text{ км/ч}$. Сколько километров составляет та часть дороги, которая идёт по равнине?

Для решения задачи введем переменные, обозначающие длины трех участков дороги из пункта А в пункт В:

• Пусть $x$ км — длина участка, идущего в гору.
• Пусть $y$ км — длина участка, идущего по равнине.
• Пусть $z$ км — длина участка, идущего под гору.

Согласно условию, общая длина дороги от А до В составляет 11,5 км. Это позволяет нам составить первое уравнение:

$x + y + z = 11,5$

Теперь проанализируем время, затраченное на путь в каждом направлении. Время вычисляется по формуле $t = S/v$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Время в пути из А в В ($t_{А \to В}$) складывается из времени на каждом участке со своей скоростью:

$t_{А \to В} = \frac{x}{v_{в \ гору}} + \frac{y}{v_{по \ равнине}} + \frac{z}{v_{под \ гору}} = \frac{x}{3} + \frac{y}{4} + \frac{z}{5}$

При движении в обратном направлении, из В в А, участки подъема и спуска меняются местами. Участок, который был спуском (длиной $z$), становится подъемом, а участок, бывший подъемом (длиной $x$), становится спуском. Равнинный участок остается неизменным. Время в пути из В в А ($t_{В \to А}$) будет равно:

$t_{В \to А} = \frac{z}{v_{в \ гору}} + \frac{y}{v_{по \ равнине}} + \frac{x}{v_{под \ гору}} = \frac{z}{3} + \frac{y}{4} + \frac{x}{5}$

Общее время в пути туда и обратно составляет 6 часов. Сложим время $t_{А \to В}$ и $t_{В \to А}$, чтобы составить второе уравнение:

$t_{общ} = t_{А \to В} + t_{В \to А} = 6$

$(\frac{x}{3} + \frac{y}{4} + \frac{z}{5}) + (\frac{z}{3} + \frac{y}{4} + \frac{x}{5}) = 6$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными:

$(\frac{x}{3} + \frac{x}{5}) + (\frac{y}{4} + \frac{y}{4}) + (\frac{z}{3} + \frac{z}{5}) = 6$

Выполним сложение в скобках:

$x(\frac{5+3}{15}) + y(\frac{1+1}{4}) + z(\frac{5+3}{15}) = 6$

$\frac{8}{15}x + \frac{2}{4}y + \frac{8}{15}z = 6$

$\frac{8}{15}x + \frac{1}{2}y + \frac{8}{15}z = 6$

Вынесем общий множитель $\frac{8}{15}$ за скобки:

$\frac{8}{15}(x + z) + \frac{1}{2}y = 6$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} x + y + z = 11,5 \\ \frac{8}{15}(x + z) + \frac{1}{2}y = 6 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим сумму $(x+z)$:

$x + z = 11,5 - y$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{8}{15}(11,5 - y) + \frac{1}{2}y = 6$

Теперь решим полученное уравнение относительно $y$ (длины равнинного участка). Раскроем скобки:

$\frac{8 \cdot 11,5}{15} - \frac{8}{15}y + \frac{1}{2}y = 6$

$\frac{92}{15} - \frac{8}{15}y + \frac{1}{2}y = 6$

Сгруппируем слагаемые с $y$ в левой части, а числовые значения перенесем в правую:

$y(\frac{1}{2} - \frac{8}{15}) = 6 - \frac{92}{15}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$y(\frac{15 - 16}{30}) = \frac{90 - 92}{15}$

$y(-\frac{1}{30}) = -\frac{2}{15}$

Домножим обе части уравнения на -30, чтобы найти $y$:

$y = \frac{2}{15} \cdot 30$

$y = \frac{60}{15}$

$y = 4$

Следовательно, длина участка дороги, которая идет по равнине, составляет 4 км.

Ответ: 4 км.