Номер 857, страница 269 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

857. Двое учащихся на одинаковую сумму денег купили тетради: тонкие по $a$ рублей за тетрадь и толстые по $b$ рублей за тетрадь. Первый из них половину своих денег истратил на тонкие тетради и половину — на толстые. Второй купил на свои деньги тех и других тетрадей поровну. Кто из них купил большее число тетрадей?

Для решения задачи введем обозначения. Пусть $S$ — это одинаковая сумма денег, которая была у каждого учащегося. Цена тонкой тетради — $a$ рублей, а цена толстой тетради — $b$ рублей.

Расчет для первого учащегося

Первый учащийся потратил половину своих денег ($S/2$) на тонкие тетради и вторую половину ($S/2$) — на толстые.
Количество тонких тетрадей, которые он купил: $N_{1,a} = \frac{S/2}{a} = \frac{S}{2a}$.
Количество толстых тетрадей, которые он купил: $N_{1,b} = \frac{S/2}{b} = \frac{S}{2b}$.
Общее количество тетрадей у первого учащегося ($N_1$) составляет сумму этих количеств:
$N_1 = N_{1,a} + N_{1,b} = \frac{S}{2a} + \frac{S}{2b} = \frac{S}{2} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) = \frac{S(a+b)}{2ab}$.

Расчет для второго учащегося

Второй учащийся купил одинаковое количество тонких и толстых тетрадей. Обозначим это количество как $k$.
Стоимость $k$ тонких тетрадей равна $k \cdot a$.
Стоимость $k$ толстых тетрадей равна $k \cdot b$.
Общая сумма, которую он потратил, равна $S$. Следовательно:
$k \cdot a + k \cdot b = S$
$k(a+b) = S$
Отсюда находим количество тетрадей каждого вида: $k = \frac{S}{a+b}$.
Общее количество тетрадей у второго учащегося ($N_2$) равно:
$N_2 = k + k = 2k = \frac{2S}{a+b}$.

Сравнение количества тетрадей

Теперь необходимо сравнить общее количество тетрадей, купленное каждым учащимся: $N_1$ и $N_2$.
$N_1 = \frac{S(a+b)}{2ab}$
$N_2 = \frac{2S}{a+b}$
Для сравнения этих двух выражений найдем их разность $N_1 - N_2$:
$N_1 - N_2 = \frac{S(a+b)}{2ab} - \frac{2S}{a+b}$
Приведем дроби к общему знаменателю $2ab(a+b)$:
$N_1 - N_2 = \frac{S(a+b)(a+b)}{2ab(a+b)} - \frac{2S(2ab)}{2ab(a+b)} = \frac{S(a+b)^2 - 4Sab}{2ab(a+b)}$
Вынесем $S$ за скобки в числителе:
$N_1 - N_2 = \frac{S((a+b)^2 - 4ab)}{2ab(a+b)}$
Раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата суммы:
$(a+b)^2 - 4ab = (a^2 + 2ab + b^2) - 4ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$
Подставим полученное выражение обратно в формулу разности:
$N_1 - N_2 = \frac{S(a-b)^2}{2ab(a+b)}$
Проанализируем это выражение:

• Сумма денег $S$ и цены $a$, $b$ — положительные величины. Следовательно, знаменатель $2ab(a+b)$ всегда положителен.
• Числитель $S(a-b)^2$ является произведением положительного числа $S$ и квадрата разности $(a-b)^2$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(a-b)^2 \ge 0$.

Таким образом, вся дробь $\frac{S(a-b)^2}{2ab(a+b)}$ всегда неотрицательна, то есть $N_1 - N_2 \ge 0$.
Это означает, что $N_1 \ge N_2$.
Рассмотрим два случая:

1. Если цены на тетради различны ($a \ne b$), то $(a-b)^2 > 0$, и следовательно, $N_1 > N_2$. Это означает, что первый учащийся купил больше тетрадей.
2. Если цены на тетради одинаковы ($a = b$), то $(a-b)^2 = 0$, и следовательно, $N_1 = N_2$. В этом случае они купили одинаковое количество тетрадей.

Поскольку в условии задачи тетради разделены на "тонкие" и "толстые", разумно предположить, что их цены различны.

Ответ: Первый учащийся купил большее число тетрадей, если цены на тонкие и толстые тетради не равны. Если цены одинаковы, то они купили равное количество тетрадей.