Номер 853, страница 269 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 853, страница 269.

Условие.

853. Пловец плывёт против течения реки и встречает плывущую по течению реки пустую лодку. Продолжая плыть против течения ещё $t$ секунд после момента встречи, он затем поворачивает назад и догоняет лодку в $s$ метрах от места встречи. Найти скорость течения реки.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Эту задачу можно решить двумя способами: используя систему отсчета, связанную с берегом, или систему отсчета, связанную с водой. Второй способ значительно проще, но для полноты решения приведем оба.

Способ 1: Решение в системе отсчета, связанной с берегом (неподвижной)

Введем обозначения:
$v_п$ — собственная скорость пловца (его скорость относительно воды).
$v_т$ — скорость течения реки.
$t$ — время в секундах, которое пловец плыл против течения после встречи с лодкой.
$s$ — расстояние в метрах от места встречи, на котором пловец догнал лодку.

Направим ось координат по течению реки. За начало отсчета ($x=0$) примем точку, где пловец и лодка встретились, и пусть это произошло в момент времени $\tau=0$.

1. Движение лодки. Пустая лодка движется со скоростью течения реки $v_т$. Ее координата в любой момент времени $\tau$ будет $x_л(\tau) = v_т \cdot \tau$.

2. Движение пловца.
а) С момента встречи ($\tau=0$) до момента поворота ($\tau=t$) пловец плывет против течения. Его скорость относительно берега равна $v_п - v_т$, но так как он движется против выбранной оси, его скорость в проекции на эту ось будет $v_{п1} = -(v_п - v_т) = v_т - v_п$. За время $t$ он достигнет координаты $x_1 = (v_т - v_п) \cdot t$.
б) В момент времени $\tau=t$ пловец поворачивает и плывет по течению. Его скорость относительно берега теперь равна $v_{п2} = v_п + v_т$. Пусть он догонял лодку в течение времени $t_{дог}$. Тогда вторая встреча произойдет в момент времени $T = t + t_{дог}$. Координата пловца в этот момент будет:
$x_п(T) = x_1 + v_{п2} \cdot t_{дог} = (v_т - v_п) \cdot t + (v_п + v_т) \cdot t_{дог}$.

3. Условие второй встречи. В момент времени $T$ пловец догнал лодку. Это означает, что их координаты равны и, по условию задачи, равны $s$.
Для лодки: $s = x_л(T) = v_т \cdot T = v_т \cdot (t + t_{дог})$.
Для пловца: $s = x_п(T) = (v_т - v_п) \cdot t + (v_п + v_т) \cdot t_{дог}$.

4. Решение системы уравнений.
Из уравнения для лодки выразим время погони $t_{дог}$:
$t + t_{дог} = \frac{s}{v_т} \implies t_{дог} = \frac{s}{v_т} - t$.
Подставим это выражение в уравнение для пловца:
$s = (v_т - v_п) \cdot t + (v_п + v_т) \cdot \left(\frac{s}{v_т} - t\right)$.
Раскроем скобки:
$s = v_т t - v_п t + (v_п + v_т) \frac{s}{v_т} - (v_п + v_т) t$
$s = v_т t - v_п t + \frac{v_п s}{v_т} + \frac{v_т s}{v_т} - v_п t - v_т t$
Упростим выражение, сократив $v_т t$ и $-v_т t$, а также $\frac{v_т s}{v_т} = s$:
$s = -2 v_п t + \frac{v_п s}{v_т} + s$
Вычтем $s$ из обеих частей:
$0 = -2 v_п t + \frac{v_п s}{v_т}$
Перенесем одно из слагаемых в другую часть:
$2 v_п t = \frac{v_п s}{v_т}$
Поскольку собственная скорость пловца $v_п \ne 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $v_п$:
$2t = \frac{s}{v_т}$
Отсюда выражаем искомую скорость течения $v_т$:
$v_т = \frac{s}{2t}$.

Способ 2: Решение в системе отсчета, связанной с водой (подвижной)

Этот способ намного элегантнее, так как он использует ключевую особенность задачи.

1. Выбор системы отсчета. Перейдем в систему отсчета, которая движется вместе с водой. В этой системе отсчета вода неподвижна.

2. Движение объектов в новой системе.
а) Лодка: Поскольку пустая лодка просто плывет по течению, в системе отсчета, связанной с водой, она будет неподвижна.
б) Пловец: Пловец движется относительно воды со своей собственной скоростью $v_п$.

3. Анализ событий.
а) В момент первой встречи пловец и лодка находятся в одной точке.
б) Затем пловец в течение времени $t$ плывет "против течения". В нашей системе отсчета это означает, что он просто удаляется от неподвижной лодки со скоростью $v_п$.
в) После этого он поворачивает и плывет обратно к лодке. Чтобы вернуться к ней, ему нужно преодолеть то же расстояние, на которое он отдалился. Поскольку его скорость относительно воды осталась прежней ($v_п$), время на обратный путь будет в точности таким же, как и время удаления, то есть $t$.

4. Общее время. Общее время между первой и второй встречей составляет время движения от лодки и время движения к лодке:
$T_{общее} = t + t = 2t$.

5. Возвращение в исходную систему отсчета. Время $T_{общее}$ не зависит от выбора системы отсчета. Вернемся в систему отсчета, связанную с берегом. За все это время $T_{общее} = 2t$ лодка плыла по течению со скоростью $v_т$ и, по условию, прошла расстояние $s$.

6. Нахождение скорости течения. Свяжем расстояние, скорость и время для лодки:
$s = v_т \cdot T_{общее}$
Подставим найденное общее время:
$s = v_т \cdot (2t)$
Из этого уравнения легко найти скорость течения:
$v_т = \frac{s}{2t}$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Скорость течения реки не зависит от собственной скорости пловца.

Ответ: Скорость течения реки равна $v_т = \frac{s}{2t}$.