Номер 847, страница 268 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 847, страница 268.

Условие.

847. Пусть $x+y=a$, $xy=b$. Выразить через $a$ и $b$ сумму:

1) $x^2+y^2$;

2) $x^3+y^3$;

3) $x^4+y^4$;

4) $x^5+y^5$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Дано: $x+y=a$ и $xy=b$.

1) $x^2+y^2$;

Воспользуемся известной формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Из этой формулы можно выразить искомую сумму квадратов:

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$.

Теперь подставим данные в условии значения $x+y=a$ и $xy=b$ в полученное выражение:

$x^2 + y^2 = a^2 - 2b$.

Ответ: $a^2 - 2b$.

2) $x^3+y^3$;

Для нахождения суммы кубов воспользуемся формулой куба суммы: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(x+y)^3 = (x^3+y^3) + 3xy(x+y)$.

Выразим из этого равенства сумму кубов $x^3+y^3$:

$x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$.

Подставим известные значения $x+y=a$ и $xy=b$:

$x^3+y^3 = a^3 - 3b \cdot a = a^3 - 3ab$.

Ответ: $a^3 - 3ab$.

3) $x^4+y^4$;

Представим искомую сумму как сумму квадратов: $x^4+y^4 = (x^2)^2+(y^2)^2$.

Снова применим формулу для суммы квадратов, как в первом пункте: $(x^2)^2+(y^2)^2 = (x^2+y^2)^2 - 2x^2y^2$.

Заметим, что $x^2y^2 = (xy)^2$. Тогда получаем:

$x^4+y^4 = (x^2+y^2)^2 - 2(xy)^2$.

Из решения пункта 1 мы знаем, что $x^2+y^2 = a^2 - 2b$. Подставим это выражение, а также значение $xy=b$:

$x^4+y^4 = (a^2 - 2b)^2 - 2b^2$.

Теперь раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:

$(a^2 - 2b)^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 2b + (2b)^2 = a^4 - 4a^2b + 4b^2$.

Подставим это в наше выражение:

$x^4+y^4 = (a^4 - 4a^2b + 4b^2) - 2b^2 = a^4 - 4a^2b + 2b^2$.

Ответ: $a^4 - 4a^2b + 2b^2$.

4) $x^5+y^5$;

Чтобы выразить $x^5+y^5$, рассмотрим произведение выражений, которые мы нашли в пунктах 1 и 2:

$(x^2+y^2)(x^3+y^3) = x^2 \cdot x^3 + x^2 \cdot y^3 + y^2 \cdot x^3 + y^2 \cdot y^3 = x^5 + x^2y^3 + y^2x^3 + y^5$.

Сгруппируем слагаемые: $(x^2+y^2)(x^3+y^3) = (x^5+y^5) + x^2y^2(x+y)$.

Выразим отсюда искомую сумму $x^5+y^5$:

$x^5+y^5 = (x^2+y^2)(x^3+y^3) - x^2y^2(x+y)$.

Это можно переписать как: $x^5+y^5 = (x^2+y^2)(x^3+y^3) - (xy)^2(x+y)$.

Теперь подставим все ранее найденные выражения: $x^2+y^2=a^2-2b$, $x^3+y^3=a^3-3ab$, $xy=b$ и $x+y=a$.

$x^5+y^5 = (a^2-2b)(a^3-3ab) - (b)^2(a)$.

Раскроем скобки в произведении:

$(a^2-2b)(a^3-3ab) = a^2 \cdot a^3 + a^2 \cdot (-3ab) - 2b \cdot a^3 - 2b \cdot (-3ab) = a^5 - 3a^3b - 2a^3b + 6ab^2 = a^5 - 5a^3b + 6ab^2$.

Подставим полученный результат обратно и упростим:

$x^5+y^5 = (a^5 - 5a^3b + 6ab^2) - ab^2 = a^5 - 5a^3b + 5ab^2$.

Ответ: $a^5 - 5a^3b + 5ab^2$.