Номер 844, страница 268 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 844, страница 268.

Условие.

844. Доказать, что равенство $x^2 + y^2 + z^2 = xy + xz + yz$ является верным только тогда, когда $x = y = z$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Данное утверждение является утверждением о равносильности, поэтому для его доказательства необходимо показать два факта:
1. Если $x = y = z$, то равенство $x^2 + y^2 + z^2 = xy + xz + yz$ является верным.
2. Если равенство $x^2 + y^2 + z^2 = xy + xz + yz$ является верным, то из этого следует, что $x = y = z$.

Проверка первого факта (достаточность).
Пусть $x = y = z$. Подставим эти значения в левую и правую части исходного равенства.
Левая часть: $L = x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + x^2 + x^2 = 3x^2$.
Правая часть: $R = xy + xz + yz = x \cdot x + x \cdot x + x \cdot x = x^2 + x^2 + x^2 = 3x^2$.
Поскольку $L = R$, равенство выполняется.

Доказательство второго факта (необходимость).
Пусть дано равенство $x^2 + y^2 + z^2 = xy + xz + yz$.
Перенесем все члены из правой части в левую:
$x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz = 0$
Умножим обе части этого уравнения на 2. Это преобразование является равносильным.
$2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2xz - 2yz = 0$
Теперь сгруппируем слагаемые таким образом, чтобы выделить полные квадраты разностей. Для этого представим $2x^2$ как $x^2 + x^2$, $2y^2$ как $y^2 + y^2$ и $2z^2$ как $z^2 + z^2$.
$(x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 - 2xz + z^2) + (y^2 - 2yz + z^2) = 0$
Каждое выражение в скобках является полным квадратом разности двух переменных:
$(x - y)^2 + (x - z)^2 + (y - z)^2 = 0$
В левой части уравнения стоит сумма трех квадратов. Поскольку переменные $x, y, z$ являются действительными числами, квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(x - y)^2 \ge 0$, $(x - z)^2 \ge 0$ и $(y - z)^2 \ge 0$.
Сумма нескольких неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю.
Следовательно, мы получаем систему из трех уравнений:
$(x - y)^2 = 0 \implies x - y = 0 \implies x = y$
$(x - z)^2 = 0 \implies x - z = 0 \implies x = z$
$(y - z)^2 = 0 \implies y - z = 0 \implies y = z$
Из этой системы однозначно следует, что $x = y = z$.

Таким образом, мы доказали оба факта, а значит, и исходное утверждение.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство $x^2 + y^2 + z^2 = xy + xz + yz$ верно только при условии $x=y=z$.