Номер 842, страница 267 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 842, страница 267.

Условие.

842. Упростить выражение $ (3^{16} + 1)(3^8 + 1)(3^4 + 1)(3^2 + 1)(3 + 1) $.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Для упрощения данного выражения воспользуемся методом, основанным на формуле разности квадратов: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

Обозначим исходное выражение как $A$:
$A = (3^{16} + 1)(3^8 + 1)(3^4 + 1)(3^2 + 1)(3 + 1)$

Чтобы последовательно применять формулу разности квадратов, нам не хватает множителя $(3-1)$. Умножим и разделим выражение на $(3-1)$. Поскольку $3-1 = 2$, это преобразование не изменит значение исходного выражения.

$A = \frac{(3-1)(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)}{3-1}$

Теперь будем последовательно "сворачивать" произведение в числителе, используя формулу разности квадратов.

1. Начнем с первых двух множителей в числителе: $(3-1)(3+1) = 3^2 - 1^2 = 3^2 - 1$.
Выражение принимает вид:
$A = \frac{(3^2-1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)}{2}$

2. Теперь объединяем следующие два множителя: $(3^2-1)(3^2+1) = (3^2)^2 - 1^2 = 3^4-1$.
Выражение принимает вид:
$A = \frac{(3^4-1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)}{2}$

3. Продолжая аналогично: $(3^4-1)(3^4+1) = (3^4)^2 - 1^2 = 3^8-1$.
$A = \frac{(3^8-1)(3^8+1)(3^{16}+1)}{2}$

4. Следующий шаг: $(3^8-1)(3^8+1) = (3^8)^2 - 1^2 = 3^{16}-1$.
$A = \frac{(3^{16}-1)(3^{16}+1)}{2}$

5. И последний шаг: $(3^{16}-1)(3^{16}+1) = (3^{16})^2 - 1^2 = 3^{32}-1$.

После всех преобразований в числителе остается $3^{32}-1$. Таким образом, получаем окончательный результат:

$A = \frac{3^{32}-1}{2}$

Ответ: $\frac{3^{32}-1}{2}$