Страница 267 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

825. Доказать, что разность $16^{11} - 2^{39}$ делится на 31.

Чтобы доказать, что разность $16^{11} - 2^{39}$ делится на 31, необходимо показать, что это выражение является кратным 31. Для этого преобразуем его.

Сначала приведем оба члена разности к одному основанию. Заметим, что $16$ является степенью числа $2$:

$16 = 2^4$

Подставим это представление в первый член выражения $16^{11}$:

$16^{11} = (2^4)^{11}$

Воспользуемся свойством возведения степени в степень, согласно которому $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(2^4)^{11} = 2^{4 \cdot 11} = 2^{44}$

Теперь исходная разность принимает вид:

$16^{11} - 2^{39} = 2^{44} - 2^{39}$

Мы можем вынести за скобки общий множитель $2^{39}$:

$2^{44} - 2^{39} = 2^{39} \cdot (2^{44-39} - 1) = 2^{39} \cdot (2^5 - 1)$

Вычислим значение выражения в скобках:

$2^5 - 1 = 32 - 1 = 31$

Таким образом, мы преобразовали исходное выражение к следующему виду:

$16^{11} - 2^{39} = 2^{39} \cdot 31$

Полученное произведение $2^{39} \cdot 31$ содержит множитель 31, а значит, оно делится на 31 нацело. Следовательно, исходная разность $16^{11} - 2^{39}$ также делится на 31.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Для доказательства того, что сумма $333^{777} + 777^{333}$ делится на 37, мы воспользуемся свойствами сравнений по модулю. Задача состоит в том, чтобы показать, что выражение $333^{777} + 777^{333}$ сравнимо с нулём по модулю 37, что записывается как $333^{777} + 777^{333} \equiv 0 \pmod{37}$.

Разберем доказательство по шагам.

1. Анализ первого слагаемого

Рассмотрим первое слагаемое $333^{777}$. Проверим делимость его основания, числа 333, на 37. Заметим, что число 111 является произведением 3 и 37, то есть $111 = 3 \times 37$. Тогда:

$333 = 3 \times 111 = 3 \times (3 \times 37) = 9 \times 37$

Поскольку 333 делится на 37 нацело, его остаток от деления на 37 равен 0. В виде сравнения по модулю это записывается так:

$333 \equiv 0 \pmod{37}$

Согласно свойству сравнений, если два числа сравнимы по модулю, то их одинаковые целые положительные степени также сравнимы по тому же модулю. Возводя обе части сравнения в степень 777, получаем:

$333^{777} \equiv 0^{777} \pmod{37}$, что равносильно $333^{777} \equiv 0 \pmod{37}$.

2. Анализ второго слагаемого

Рассмотрим второе слагаемое $777^{333}$. Аналогично проверим делимость его основания, числа 777, на 37:

$777 = 7 \times 111 = 7 \times (3 \times 37) = 21 \times 37$

Число 777 также делится на 37 нацело. Следовательно:

$777 \equiv 0 \pmod{37}$

Возводя обе части в степень 333, имеем:

$777^{333} \equiv 0^{333} \pmod{37}$, что равносильно $777^{333} \equiv 0 \pmod{37}$.

3. Вывод

Мы установили, что оба слагаемых суммы ($333^{777}$ и $777^{333}$) сравнимы с нулём по модулю 37. Складывая эти два сравнения, получаем:

$333^{777} + 777^{333} \equiv 0 + 0 \pmod{37}$

$333^{777} + 777^{333} \equiv 0 \pmod{37}$

Это означает, что сумма $333^{777} + 777^{333}$ делится на 37 без остатка, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма $333^{777} + 777^{333}$ делится на 37, так как каждое из слагаемых в отдельности делится на 37. Это следует из того, что основания степеней, 333 и 777, оба являются кратными числу 37 ($333 = 9 \times 37$ и $777 = 21 \times 37$).

827. Найти последнюю цифру числа:

1) $2^{187}$;

2) $3^{115}$;

3) $7^{158}$.

Для нахождения последней цифры числа, возведенного в степень, необходимо исследовать, как меняется последняя цифра при возведении основания в последовательные натуральные степени. Обычно последние цифры повторяются с определенным циклом.

1) $2^{187}$
Найдем закономерность для последних цифр степеней числа 2:
$2^1 = 2$
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
$2^4 = 16$ (последняя цифра 6)
$2^5 = 32$ (последняя цифра 2)
Мы видим, что последние цифры повторяются с циклом длиной 4: (2, 4, 8, 6).
Чтобы определить последнюю цифру числа $2^{187}$, найдем остаток от деления показателя степени 187 на длину цикла, то есть на 4.
$187 \div 4 = 46$ и остаток 3.
Остаток 3 означает, что последняя цифра числа $2^{187}$ будет такой же, как у третьего числа в цикле, то есть как у $2^3$.
Последняя цифра $2^3$ — это 8.
Ответ: 8

2) $3^{115}$
Найдем закономерность для последних цифр степеней числа 3:
$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$ (последняя цифра 7)
$3^4 = 81$ (последняя цифра 1)
$3^5 = 243$ (последняя цифра 3)
Последние цифры повторяются с циклом длиной 4: (3, 9, 7, 1).
Чтобы определить последнюю цифру числа $3^{115}$, найдем остаток от деления показателя степени 115 на длину цикла 4.
$115 \div 4 = 28$ и остаток 3.
Остаток 3 означает, что последняя цифра числа $3^{115}$ будет такой же, как у третьего числа в цикле, то есть как у $3^3$.
Последняя цифра $3^3$ — это 7.
Ответ: 7

3) $7^{158}$
Найдем закономерность для последних цифр степеней числа 7:
$7^1 = 7$
$7^2 = 49$ (последняя цифра 9)
$7^3 = 343$ (последняя цифра 3)
$7^4 = 2401$ (последняя цифра 1)
$7^5 = 16807$ (последняя цифра 7)
Последние цифры повторяются с циклом длиной 4: (7, 9, 3, 1).
Чтобы определить последнюю цифру числа $7^{158}$, найдем остаток от деления показателя степени 158 на длину цикла 4.
$158 \div 4 = 39$ и остаток 2.
Остаток 2 означает, что последняя цифра числа $7^{158}$ будет такой же, как у второго числа в цикле, то есть как у $7^2$.
Последняя цифра $7^2$ — это 9.
Ответ: 9

828. Найти последнюю цифру числа:

1) $32^{365} + 43^{241}$;

2) $27^{358} + 53^{275}$.

Для нахождения последней цифры числа, являющегося суммой двух степеней, необходимо найти последнюю цифру каждого слагаемого, а затем найти последнюю цифру их суммы. Последняя цифра степени числа определяется только последней цифрой его основания. Мы будем использовать свойство цикличности последних цифр при возведении в степень.

1) Найдем последнюю цифру числа $32^{365} + 43^{241}$.

Сначала найдем последнюю цифру слагаемого $32^{365}$. Она совпадает с последней цифрой числа $2^{365}$. Рассмотрим, как меняются последние цифры степеней числа 2:

$2^1 = 2$
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
$2^4 = 16$ (последняя цифра 6)
$2^5 = 32$ (последняя цифра 2)

Последние цифры степеней двойки повторяются с циклом длиной 4: (2, 4, 8, 6). Чтобы определить, какая из этих цифр будет последней для $2^{365}$, найдем остаток от деления показателя степени 365 на длину цикла 4.

$365 \div 4 = 91$ с остатком 1 ($365 = 4 \cdot 91 + 1$).

Остаток 1 означает, что последняя цифра будет такой же, как у первого члена цикла, то есть 2.

Теперь найдем последнюю цифру слагаемого $43^{241}$. Она совпадает с последней цифрой числа $3^{241}$. Рассмотрим последние цифры степеней числа 3:

$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$ (последняя цифра 7)
$3^4 = 81$ (последняя цифра 1)
$3^5 = 243$ (последняя цифра 3)

Последние цифры степеней тройки повторяются с циклом длиной 4: (3, 9, 7, 1). Найдем остаток от деления 241 на 4.

$241 \div 4 = 60$ с остатком 1 ($241 = 4 \cdot 60 + 1$).

Остаток 1 означает, что последняя цифра будет такой же, как у первого члена цикла, то есть 3.

Чтобы найти последнюю цифру исходной суммы, сложим найденные последние цифры: $2 + 3 = 5$.

Ответ: 5

2) Найдем последнюю цифру числа $27^{358} + 53^{275}$.

Найдем последнюю цифру слагаемого $27^{358}$. Она совпадает с последней цифрой числа $7^{358}$. Рассмотрим последние цифры степеней числа 7:

$7^1 = 7$
$7^2 = 49$ (последняя цифра 9)
$7^3 = 343$ (последняя цифра 3)
$7^4 = 2401$ (последняя цифра 1)
$7^5 = 16807$ (последняя цифра 7)

Последние цифры степеней семерки повторяются с циклом длиной 4: (7, 9, 3, 1). Найдем остаток от деления показателя степени 358 на 4.

$358 \div 4 = 89$ с остатком 2 ($358 = 4 \cdot 89 + 2$).

Остаток 2 означает, что последняя цифра будет такой же, как у второго члена цикла, то есть 9.

Далее найдем последнюю цифру слагаемого $53^{275}$. Она совпадает с последней цифрой числа $3^{275}$. Мы уже знаем, что цикл последних цифр для степеней тройки равен 4: (3, 9, 7, 1). Найдем остаток от деления 275 на 4.

$275 \div 4 = 68$ с остатком 3 ($275 = 4 \cdot 68 + 3$).

Остаток 3 означает, что последняя цифра будет такой же, как у третьего члена цикла, то есть 7.

Теперь сложим найденные последние цифры: $9 + 7 = 16$. Последняя цифра числа 16 – это 6.

Ответ: 6

829. Доказать, что число $32^{365} + 43^{241}$ делится на 5.

Для того чтобы доказать, что число $32^{365} + 43^{241}$ делится на 5, мы определим последнюю цифру этого числа. Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра 0 или 5. Найдем последнюю цифру каждого слагаемого в сумме.

Последняя цифра числа $32^{365}$
Последняя цифра степени определяется последней цифрой ее основания. У числа 32 последняя цифра — 2. Рассмотрим, как изменяется последняя цифра при возведении 2 в степень:
$2^1$ оканчивается на 2
$2^2$ оканчивается на 4
$2^3$ оканчивается на 8
$2^4$ оканчивается на 6 ($2^4=16$)
$2^5$ оканчивается на 2 ($2^5=32$)
Последние цифры степеней числа 2 повторяются с циклом длиной 4: (2, 4, 8, 6). Чтобы найти последнюю цифру числа $32^{365}$, нужно найти остаток от деления показателя степени 365 на 4.
$365 \div 4 = 91$ с остатком 1.
Поскольку остаток равен 1, последняя цифра числа $32^{365}$ будет такой же, как и первая в цикле, то есть 2.

Последняя цифра числа $43^{241}$
Последняя цифра основания 43 — это 3. Рассмотрим цикл последних цифр для степеней числа 3:
$3^1$ оканчивается на 3
$3^2$ оканчивается на 9
$3^3$ оканчивается на 7 ($3^3=27$)
$3^4$ оканчивается на 1 ($3^4=81$)
$3^5$ оканчивается на 3 ($3^5=243$)
Последние цифры степеней числа 3 также повторяются с циклом длиной 4: (3, 9, 7, 1). Чтобы найти последнюю цифру $43^{241}$, найдем остаток от деления показателя 241 на 4.
$241 \div 4 = 60$ с остатком 1.
Остаток 1 означает, что последняя цифра числа $43^{241}$ будет такой же, как и первая в цикле, то есть 3.

Последняя цифра суммы
Мы выяснили, что число $32^{365}$ оканчивается на 2, а число $43^{241}$ оканчивается на 3. Последняя цифра их суммы будет равна последней цифре суммы их последних цифр:
$2 + 3 = 5$.
Таким образом, число $32^{365} + 43^{241}$ оканчивается на 5.

Поскольку число оканчивается на 5, оно делится на 5 без остатка, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

830. Доказать, что число $132^2 + 576^3$ делится на 12.

Для того чтобы доказать, что число $132^2 + 576^3$ делится на 12, мы должны показать, что оно делится на 3 и на 4, так как 3 и 4 — взаимно простые числа и их произведение равно 12. Однако, есть более простой способ: если каждое слагаемое в сумме делится на 12, то и вся сумма делится на 12.

1. Проверим делимость первого слагаемого $132^2$ на 12.

Сначала проверим, делится ли основание степени, число 132, на 12.

$132 \div 12 = 11$

Поскольку 132 делится на 12 без остатка, то и его квадрат $132^2$ также будет делиться на 12. Можно это показать, вынеся множитель 12:

$132^2 = (12 \times 11)^2 = 12^2 \times 11^2 = 12 \times (12 \times 11^2)$

Так как $132^2$ является произведением числа 12 и целого числа $(12 \times 11^2)$, оно делится на 12.

2. Проверим делимость второго слагаемого $576^3$ на 12.

Проверим, делится ли основание степени, число 576, на 12.

$576 \div 12 = 48$

Поскольку 576 делится на 12 без остатка, то и его куб $576^3$ также будет делиться на 12:

$576^3 = (12 \times 48)^3 = 12^3 \times 48^3 = 12 \times (12^2 \times 48^3)$

Так как $576^3$ является произведением числа 12 и целого числа $(12^2 \times 48^3)$, оно делится на 12.

Вывод.

Мы установили, что оба слагаемых, $132^2$ и $576^3$, делятся на 12. Сумма двух чисел, каждое из которых делится на некоторое число, также делится на это число.

Следовательно, сумма $132^2 + 576^3$ делится на 12, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

831. Доказать, что число $10^{23} + 10^{19} - 182$ делится на 18.

Для того чтобы доказать, что число $10^{23} + 10^{19} - 182$ делится на 18, необходимо доказать, что оно делится одновременно на 2 и на 9, так как $18 = 2 \cdot 9$ и числа 2 и 9 являются взаимно простыми.

1. Доказательство делимости на 2

Число делится на 2, если оно является четным.
Число $10^{23}$ оканчивается на 0, следовательно, оно четное.
Число $10^{19}$ также оканчивается на 0, и оно тоже четное.
Сумма двух четных чисел ($10^{23} + 10^{19}$) является четным числом.
Число 182 является четным.
Разность двух четных чисел ($ (10^{23} + 10^{19}) - 182 $) также является четным числом.
Следовательно, данное число делится на 2.

2. Доказательство делимости на 9

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Чтобы это проверить, преобразуем исходное выражение:

$10^{23} + 10^{19} - 182 = 10^{23} + 10^{19} - 2 - 180 = (10^{23} - 1) + (10^{19} - 1) - 180$

Теперь рассмотрим каждое слагаемое в полученном выражении:
Первое слагаемое: $10^{23} - 1$. Это число записывается как 23 девятки подряд ($\underbrace{99...9}_{23}$). Сумма цифр этого числа равна $23 \cdot 9$, что, очевидно, делится на 9. Следовательно, число $10^{23} - 1$ делится на 9.
Второе слагаемое: $10^{19} - 1$. Аналогично, это число состоит из 19 девяток ($\underbrace{99...9}_{19}$). Сумма его цифр равна $19 \cdot 9$, что также делится на 9. Следовательно, число $10^{19} - 1$ делится на 9.
Третье слагаемое (вычитаемое): 180. Так как $180 = 9 \cdot 20$, число 180 делится на 9.

Поскольку каждое из трех слагаемых в выражении $(10^{23} - 1) + (10^{19} - 1) - 180$ делится на 9, то и все выражение в целом делится на 9.

Вывод

Мы доказали, что число $10^{23} + 10^{19} - 182$ делится и на 2, и на 9. Так как числа 2 и 9 взаимно простые, то исходное число делится на их произведение, то есть на $2 \cdot 9 = 18$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

832. Доказать, что значение выражения $n^3 + 11n$ делится на 6 при любом натуральном $n$.

Чтобы доказать, что значение выражения $n^3 + 11n$ делится на 6 при любом натуральном $n$, нужно доказать, что оно делится одновременно на 2 и на 3, так как $6 = 2 \times 3$, а числа 2 и 3 являются взаимно простыми.

Для этого преобразуем данное выражение. Представим слагаемое $11n$ в виде разности $12n - n$:

$n^3 + 11n = n^3 + 12n - n$

Теперь перегруппируем члены выражения:

$(n^3 - n) + 12n$

Вынесем общий множитель $n$ из выражения в скобках:

$n(n^2 - 1) + 12n$

Выражение в скобках $n^2 - 1$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(n-1)n(n+1) + 12n$

Полученное выражение состоит из двух слагаемых. Рассмотрим каждое из них по отдельности.

Первое слагаемое, $(n-1)n(n+1)$, является произведением трех последовательных натуральных чисел. В любой тройке последовательных чисел обязательно есть хотя бы одно четное число (которое делится на 2) и ровно одно число, которое делится на 3. Следовательно, произведение этих трех чисел всегда делится на $2 \times 3 = 6$.

Второе слагаемое, $12n$, также всегда делится на 6, так как один из его множителей, 12, кратен 6 ($12 = 6 \times 2$).

Поскольку оба слагаемых, $(n-1)n(n+1)$ и $12n$, делятся на 6, их сумма также будет делиться на 6. Таким образом, мы доказали, что выражение $n^3 + 11n$ делится на 6 при любом натуральном $n$.

Ответ: Утверждение доказано.

833. Доказать, что при любом натуральном n:

1) значение выражения $n^3 + 3n^2 + 5n + 105$ делится на 3;

2) значение выражения $n^3 + 12n^2 + 23n$ делится на 6.

1) Требуется доказать, что при любом натуральном $n$ значение выражения $n^3+3n^2+5n+105$ делится на 3.

Преобразуем данное выражение. Для этого представим $5n$ в виде $6n - n$ и перегруппируем слагаемые:

$n^3+3n^2+5n+105 = n^3+3n^2+6n-n+105 = (n^3 - n) + 3n^2 + 6n + 105$.

Теперь проанализируем каждое слагаемое в полученной сумме на предмет делимости на 3:

Первое слагаемое: $(n^3 - n)$. Разложим его на множители: $n^3 - n = n(n^2 - 1) = (n-1)n(n+1)$. Это произведение трех последовательных натуральных чисел. Среди любых трех последовательных чисел одно всегда делится на 3, а значит, и их произведение делится на 3.

Второе слагаемое: $3n^2$. Оно очевидно делится на 3, так как содержит множитель 3.

Третье слагаемое: $6n$. Оно делится на 3, так как $6n = 3 \cdot 2n$.

Четвертое слагаемое: $105$. Оно делится на 3, так как $105 = 3 \cdot 35$.

Поскольку каждое слагаемое в сумме $(n-1)n(n+1) + 3n^2 + 6n + 105$ делится на 3, то и вся сумма делится на 3. Следовательно, исходное выражение $n^3+3n^2+5n+105$ делится на 3 при любом натуральном $n$.

Ответ: что и требовалось доказать.

2) Требуется доказать, что при любом натуральном $n$ значение выражения $n^3+12n^2+23n$ делится на 6.

Для того чтобы доказать делимость на 6, можно доказать делимость на 2 и на 3 (так как $6 = 2 \cdot 3$, а 2 и 3 — взаимно простые числа). Мы используем метод преобразования выражения, который покажет делимость на 6 напрямую. Представим $23n$ как $24n - n$ и перегруппируем слагаемые:

$n^3+12n^2+23n = n^3+12n^2+24n-n = (n^3 - n) + 12n^2 + 24n$.

Проанализируем каждое слагаемое полученной суммы на предмет делимости на 6:

Первое слагаемое: $(n^3 - n) = (n-1)n(n+1)$. Это произведение трех последовательных натуральных чисел. Среди трех последовательных чисел всегда есть как минимум одно четное (делится на 2) и ровно одно, кратное 3. Следовательно, их произведение всегда делится на $2 \cdot 3 = 6$.

Второе слагаемое: $12n^2$. Оно делится на 6, так как $12n^2 = 6 \cdot 2n^2$.

Третье слагаемое: $24n$. Оно делится на 6, так как $24n = 6 \cdot 4n$.

Так как каждое слагаемое в сумме $(n-1)n(n+1) + 12n^2 + 24n$ делится на 6, то и вся сумма делится на 6. Таким образом, исходное выражение $n^3+12n^2+23n$ делится на 6 при любом натуральном $n$.

Ответ: что и требовалось доказать.

834. Доказать, что при любых натуральных $m$ и $n$ значение выражения $(3m + n + 5)^5 (5m + 7n + 2)^4$ делится на 16.

Чтобы доказать, что значение выражения $(3m + n + 5)^5 (5m + 7n + 2)^4$ делится на 16 при любых натуральных $m$ и $n$, рассмотрим два множителя этого выражения.

Пусть $A = 3m + n + 5$ и $B = 5m + 7n + 2$.

Тогда исходное выражение можно записать как $A^5 B^4$.

Исследуем четность этих множителей. Для этого найдем их сумму:

$A + B = (3m + n + 5) + (5m + 7n + 2) = 8m + 8n + 7$.

Сумму можно представить в виде $A + B = 2(4m + 4n) + 7$. Так как $2(4m + 4n)$ — это всегда четное число, то сумма $A + B$ всегда является нечетным числом.

Сумма двух целых чисел является нечетной только в том случае, если одно из чисел четное, а другое — нечетное. Следовательно, для любых натуральных $m$ и $n$ один из множителей ($A$ или $B$) будет четным, а другой — нечетным.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Случай, когда $A$ — четное, а $B$ — нечетное.

Если $A$ — четное число, то его можно представить в виде $A = 2k$, где $k$ — некоторое целое число. Тогда выражение принимает вид:

$A^5 B^4 = (2k)^5 B^4 = 32k^5 B^4 = 16 \cdot (2k^5 B^4)$.

Поскольку $k$ и $B$ — целые числа, то $2k^5 B^4$ также является целым числом. Это означает, что в данном случае выражение делится на 16.

2. Случай, когда $A$ — нечетное, а $B$ — четное.

Если $B$ — четное число, то его можно представить в виде $B = 2k$, где $k$ — некоторое целое число. Тогда выражение принимает вид:

$A^5 B^4 = A^5 (2k)^4 = A^5 \cdot 16k^4 = 16 \cdot (A^5 k^4)$.

Поскольку $k$ и $A$ — целые числа, то $A^5 k^4$ также является целым числом. Это означает, что и в этом случае выражение делится на 16.

Так как для любых натуральных $m$ и $n$ выполняется один из этих двух случаев, и в каждом из них выражение делится на 16, то утверждение доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

835. Пусть $m$ и $n$ такие натуральные числа, что значение выражения $7m + 5n$ делится на 13. Доказать, что значение выражения $41m + 46n$ также делится на 13.

По условию задачи, выражение $7m + 5n$ делится на 13, где $m$ и $n$ — натуральные числа. Это означает, что существует такое целое число $k$, для которого выполняется равенство:

$7m + 5n = 13k$

Нам необходимо доказать, что выражение $41m + 46n$ также делится на 13.

Преобразуем выражение $41m + 46n$, представив его в виде суммы слагаемых, каждое из которых гарантированно делится на 13. Для этого попытаемся выразить его через известную нам комбинацию $(7m + 5n)$.

Заметим, что мы можем представить $41m + 46n$ следующим образом:

$41m + 46n = (28m + 13m) + (20n + 26n)$

Теперь сгруппируем слагаемые по-другому, чтобы выделить выражение, кратное $(7m + 5n)$:

$41m + 46n = (28m + 20n) + (13m + 26n)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$41m + 46n = 4(7m + 5n) + 13(m + 2n)$

Теперь проанализируем получившуюся сумму. Она состоит из двух слагаемых:

1. Первое слагаемое: $4(7m + 5n)$. Поскольку по условию $(7m + 5n)$ делится на 13, то и произведение этого выражения на 4, то есть $4(7m + 5n)$, также делится на 13.

2. Второе слагаемое: $13(m + 2n)$. Это выражение содержит множитель 13, следовательно, оно делится на 13 при любых натуральных $m$ и $n$.

Сумма двух чисел, каждое из которых делится на 13, также делится на 13. Так как оба слагаемых в выражении $4(7m + 5n) + 13(m + 2n)$ делятся на 13, то и вся сумма делится на 13.

Следовательно, мы доказали, что выражение $41m + 46n$ делится на 13.

Ответ: Утверждение доказано. Если значение выражения $7m+5n$ делится на 13, то и значение выражения $41m+46n$ также делится на 13.

836. Вычислить сумму $S = \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{99 \cdot 101} + \frac{1}{101 \cdot 103}$

Для вычисления данной суммы воспользуемся методом разложения дробей на простейшие. Этот метод позволяет представить каждую дробь в виде разности двух других дробей, что приведет к значительному упрощению выражения.

Каждый член суммы имеет вид $\frac{1}{n(n+2)}$, где $n$ — нечетное число. Представим эту дробь в виде разности:

$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2}$

Приводя к общему знаменателю, получаем:

$1 = A(n+2) + Bn$

Чтобы найти коэффициенты $A$ и $B$, подставим значения $n$, которые обращают в ноль знаменатели:

Если $n=0$, то $1 = A(0+2) \implies 1 = 2A \implies A = \frac{1}{2}$.

Если $n=-2$, то $1 = B(-2) \implies B = -\frac{1}{2}$.

Таким образом, мы получили общую формулу для разложения:

$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1/2}{n} - \frac{1/2}{n+2} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right)$

Теперь применим эту формулу к каждому слагаемому в нашей сумме $S$:

$S = \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{99 \cdot 101} + \frac{1}{101 \cdot 103}$

$S = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \dots + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{99} - \frac{1}{101}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{101} - \frac{1}{103}\right)$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$S = \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \dots + \left(\frac{1}{99} - \frac{1}{101}\right) + \left(\frac{1}{101} - \frac{1}{103}\right) \right]$

Внутри больших скобок мы видим, что соседние слагаемые с противоположными знаками взаимно уничтожаются (такой ряд называется телескопическим):

$S = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{3} - \cancel{\frac{1}{5}} + \cancel{\frac{1}{5}} - \cancel{\frac{1}{7}} + \dots + \cancel{\frac{1}{99}} - \cancel{\frac{1}{101}} + \cancel{\frac{1}{101}} - \frac{1}{103} \right]$

После сокращения в скобках остаются только первое и последнее слагаемые:

$S = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{103} \right)$

Теперь вычислим значение выражения в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $3 \cdot 103 = 309$:

$\frac{1}{3} - \frac{1}{103} = \frac{103}{309} - \frac{3}{309} = \frac{103 - 3}{309} = \frac{100}{309}$

Подставим полученный результат обратно в формулу для $S$:

$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{100}{309} = \frac{100}{2 \cdot 309} = \frac{50}{309}$

Ответ: $S = \frac{50}{309}$

837. Вычислить сумму $S = \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 6} + \dots + \frac{1}{96 \cdot 98} + \frac{1}{98 \cdot 100}$.

Рассмотрим заданную сумму:

$$ S = \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 6} + \dots + \frac{1}{96 \cdot 98} + \frac{1}{98 \cdot 100} $$

Общий член этой суммы имеет вид $\frac{1}{2n(2n+2)}$, где $n$ пробегает значения от 1 до 49. Вынесем из знаменателя каждого слагаемого общий множитель $2 \cdot 2 = 4$:

$$ S = \frac{1}{4(1 \cdot 2)} + \frac{1}{4(2 \cdot 3)} + \dots + \frac{1}{4(49 \cdot 50)} $$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{4}$ за скобки:

$$ S = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{49 \cdot 50} \right) $$

Воспользуемся тождеством для разложения дробей вида $\frac{1}{k(k+1)}$ на простейшие:

$$ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{k+1-k}{k(k+1)} = \frac{k+1}{k(k+1)} - \frac{k}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} $$

Применив это тождество к каждому слагаемому в скобках, получим телескопическую сумму:

$$ S = \frac{1}{4} \left[ \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{48} - \frac{1}{49}\right) + \left(\frac{1}{49} - \frac{1}{50}\right) \right] $$

Все промежуточные слагаемые в скобках взаимно уничтожаются (например, $-\frac{1}{2}$ и $+\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{3}$ и $+\frac{1}{3}$ и так далее). В результате остаются только первый и последний члены:

$$ S = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{50} \right) $$

Теперь выполним вычисление:

$$ S = \frac{1}{4} \left( \frac{50 - 1}{50} \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{49}{50} = \frac{49}{200} $$

Ответ: $S = \frac{49}{200}$.

838. Доказать, что ни при каких целых $x$ и $y$ равенство $x^2-y^2=1990$ не является верным.

Для доказательства того, что равенство $x^2 - y^2 = 1990$ неверно ни для каких целых $x$ и $y$, можно использовать несколько подходов. Рассмотрим два из них.

Способ 1: Анализ четности множителей

Представим левую часть уравнения в виде произведения, используя формулу разности квадратов: $(x - y)(x + y) = 1990$. Поскольку $x$ и $y$ по условию являются целыми числами, то их разность $(x - y)$ и сумма $(x + y)$ также являются целыми числами. Обозначим эти множители как $a = x - y$ и $b = x + y$. Чтобы исходные переменные $x$ и $y$ были целыми, необходимо, чтобы $a$ и $b$ имели одинаковую четность (оба должны быть четными или оба нечетными). Это следует из формул $x = \frac{a+b}{2}$ и $y = \frac{b-a}{2}$, где для целочисленности $x$ и $y$ требуется, чтобы числители $a+b$ и $b-a$ были четными.

Теперь проанализируем произведение $ab = 1990$. Число 1990 является четным, поэтому множители $a$ и $b$ не могут быть оба нечетными (так как произведение двух нечетных чисел всегда нечетно). Следовательно, оба множителя, $a$ и $b$, должны быть четными. Если $a$ и $b$ — четные числа, то их произведение $ab$ должно быть кратно 4 (так как если $a=2k$ и $b=2m$ для целых $k, m$, то $ab = 4km$). Однако число 1990 не делится нацело на 4, поскольку $1990 = 4 \times 497 + 2$. Мы пришли к противоречию: из предположения о существовании целых решений следует, что число 1990 должно быть кратно 4, но это не так. Следовательно, уравнение не имеет решений в целых числах.

Способ 2: Рассмотрение по модулю 4

Рассмотрим уравнение в терминах сравнений по модулю 4: $x^2 - y^2 \equiv 1990 \pmod{4}$. Сначала определим, какие остатки может давать квадрат целого числа при делении на 4. Если целое число $n$ четное ($n=2k$), то $n^2 = (2k)^2 = 4k^2 \equiv 0 \pmod{4}$. Если $n$ нечетное ($n=2k+1$), то $n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 \equiv 1 \pmod{4}$. Таким образом, любой квадрат целого числа ($x^2$ или $y^2$) может быть сравним только с 0 или 1 по модулю 4.

Исходя из этого, рассмотрим все возможные значения для разности $x^2 - y^2$ по модулю 4: $0-0=0$; $1-0=1$; $0-1 \equiv 3 \pmod{4}$; $1-1=0$. Следовательно, разность двух квадратов целых чисел может быть сравнима только с 0, 1 или 3 по модулю 4. Теперь найдем остаток от деления правой части уравнения на 4: $1990 = 4 \times 497 + 2$, то есть $1990 \equiv 2 \pmod{4}$. Уравнение принимает вид $x^2 - y^2 \equiv 2 \pmod{4}$. Это сравнение не может быть верным, так как левая часть никогда не сравнима с 2 по модулю 4. Это противоречие доказывает, что уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство $x^2 - y^2 = 1990$ не является верным ни при каких целых значениях $x$ и $y$.

839. Найти все пары целых чисел x и y, при которых справедливо равенство:

1) $x^2 + 2x = y^2 + 6$;

2) $x^2 - 8 = y^2 + 4y$.

1) Решим уравнение $x^2 + 2x = y^2 + 6$ в целых числах.

Преобразуем левую часть уравнения, выделив полный квадрат:

$x^2 + 2x + 1 - 1 = y^2 + 6$

$(x+1)^2 - 1 = y^2 + 6$

Перенесем слагаемые с переменными в одну сторону, а константы в другую:

$(x+1)^2 - y^2 = 7$

Разложим левую часть на множители как разность квадратов:

$(x+1-y)(x+1+y) = 7$

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то выражения в скобках $(x+1-y)$ и $(x+1+y)$ также являются целыми числами. Их произведение равно 7. Следовательно, они являются делителями числа 7. Рассмотрим все возможные пары целых делителей числа 7: (1, 7), (7, 1), (-1, -7), (-7, -1).

Для каждой пары решим систему уравнений:

а) $\begin{cases} x+1-y = 1 \\ x+1+y = 7 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2(x+1) = 8$, откуда $x+1=4$ и $x=3$. Подставив $x=3$ во второе уравнение, получим $3+1+y=7$, откуда $y=3$. Пара чисел: $(3, 3)$.

б) $\begin{cases} x+1-y = 7 \\ x+1+y = 1 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2(x+1) = 8$, откуда $x+1=4$ и $x=3$. Подставив $x=3$ во второе уравнение, получим $3+1+y=1$, откуда $y=-3$. Пара чисел: $(3, -3)$.

в) $\begin{cases} x+1-y = -1 \\ x+1+y = -7 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2(x+1) = -8$, откуда $x+1=-4$ и $x=-5$. Подставив $x=-5$ во второе уравнение, получим $-5+1+y=-7$, откуда $y=-3$. Пара чисел: $(-5, -3)$.

г) $\begin{cases} x+1-y = -7 \\ x+1+y = -1 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2(x+1) = -8$, откуда $x+1=-4$ и $x=-5$. Подставив $x=-5$ во второе уравнение, получим $-5+1+y=-1$, откуда $y=3$. Пара чисел: $(-5, 3)$.

Ответ: $(3, 3), (3, -3), (-5, -3), (-5, 3)$.

2) Решим уравнение $x^2 - 8 = y^2 + 4y$ в целых числах.

Преобразуем правую часть уравнения, выделив полный квадрат:

$x^2 - 8 = y^2 + 4y + 4 - 4$

$x^2 - 8 = (y+2)^2 - 4$

Перенесем слагаемые с переменными в одну сторону, а константы в другую:

$x^2 - (y+2)^2 = 8 - 4$

$x^2 - (y+2)^2 = 4$

Разложим левую часть на множители как разность квадратов:

$(x - (y+2))(x + (y+2)) = 4$

$(x-y-2)(x+y+2) = 4$

Так как $x$ и $y$ — целые числа, множители $(x-y-2)$ и $(x+y+2)$ также являются целыми числами. Обозначим их $A = x-y-2$ и $B = x+y+2$. Их произведение $A \cdot B = 4$.

Заметим, что сумма этих множителей $A+B = (x-y-2) + (x+y+2) = 2x$ является четным числом. Это означает, что множители $A$ и $B$ должны иметь одинаковую четность. Поскольку их произведение 4 — четное число, то оба множителя должны быть четными.

Рассмотрим все возможные пары четных делителей числа 4: (2, 2) и (-2, -2).

а) $\begin{cases} x-y-2 = 2 \\ x+y+2 = 2 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2x = 4$, откуда $x=2$. Подставив $x=2$ в первое уравнение, получим $2-y-2=2$, откуда $-y=2$ и $y=-2$. Пара чисел: $(2, -2)$.

б) $\begin{cases} x-y-2 = -2 \\ x+y+2 = -2 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2x = -4$, откуда $x=-2$. Подставив $x=-2$ в первое уравнение, получим $-2-y-2=-2$, откуда $-y=2$ и $y=-2$. Пара чисел: $(-2, -2)$.

Ответ: $(2, -2), (-2, -2)$.

840. Найти все целые числа $n$, при которых дробь $\frac{n^5 + 3}{n^2 + 1}$ является целым числом.

Для того чтобы дробь $\frac{n^5+3}{n^2+1}$ была целым числом, необходимо, чтобы числитель $n^5+3$ делился нацело на знаменатель $n^2+1$, так как $n$ — целое число.

Выполним деление многочлена в числителе на многочлен в знаменателе с остатком. Для этого преобразуем числитель, выделяя в нем множитель, равный знаменателю:

$n^5+3 = n^3(n^2+1) - n^3 + 3 = n^3(n^2+1) - n(n^2+1) + n + 3 = (n^3-n)(n^2+1) + (n+3)$

Теперь исходную дробь можно записать в виде:

$\frac{n^5+3}{n^2+1} = \frac{(n^3-n)(n^2+1) + (n+3)}{n^2+1} = n^3-n + \frac{n+3}{n^2+1}$

Поскольку $n$ — целое число, то $n^3-n$ также является целым числом. Следовательно, исходное выражение является целым тогда и только тогда, когда дробь $\frac{n+3}{n^2+1}$ является целым числом. Обозначим это целое число через $k$:

$k = \frac{n+3}{n^2+1}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим, при каких целых $n$ это возможно. Если модуль числа $n$ достаточно велик, знаменатель $n^2+1$ растет быстрее, чем модуль числителя $|n+3|$. Найдем, при каких $n$ выполняется $|k| < 1$. Это эквивалентно неравенству $|n+3| < n^2+1$.

Неравенство $|n+3| < n^2+1$ равносильно системе $- (n^2+1) < n+3 < n^2+1$.

Левое неравенство, $-n^2-1 < n+3$, преобразуется к $n^2+n+4 > 0$. Дискриминант этого квадратного трехчлена равен $D = 1^2 - 4(1)(4) = -15 < 0$, а старший коэффициент положителен, поэтому это неравенство верно для всех действительных $n$.

Правое неравенство, $n+3 < n^2+1$, преобразуется к $n^2-n-2 > 0$, или $(n-2)(n+1) > 0$. Это неравенство выполняется для целых $n$, если $n \le -2$ или $n \ge 3$.

Таким образом, для всех целых $n \le -2$ или $n \ge 3$, мы имеем $|k| = |\frac{n+3}{n^2+1}| < 1$. Так как $k$ должно быть целым, единственная возможность в этом случае — это $k=0$.

Условие $k=0$ означает, что $\frac{n+3}{n^2+1} = 0$, что влечет за собой $n+3=0$, то есть $n=-3$. Это значение удовлетворяет условию $n \le -2$, поэтому $n=-3$ является решением.

Осталось проверить целые числа, которые не удовлетворяют условиям $n \le -2$ или $n \ge 3$. Такими числами являются $n=-1, 0, 1, 2$. Выполним для них прямую проверку, подставляя в выражение $k = \frac{n+3}{n^2+1}$:

При $n=-1$: $k = \frac{-1+3}{(-1)^2+1} = \frac{2}{2} = 1$. Это целое число.

При $n=0$: $k = \frac{0+3}{0^2+1} = \frac{3}{1} = 3$. Это целое число.

При $n=1$: $k = \frac{1+3}{1^2+1} = \frac{4}{2} = 2$. Это целое число.

При $n=2$: $k = \frac{2+3}{2^2+1} = \frac{5}{5} = 1$. Это целое число.

Все эти значения $n$ также являются решениями.

Объединяя все найденные значения, получаем искомое множество целых чисел.

Ответ: $n \in \{-3, -1, 0, 1, 2\}$.

841. Доказать, что при любых значениях $x$ и $y$, не равных $0$, значение выражения $x^2 - xy + \frac{2}{7}y^2$ положительно.

Чтобы доказать, что выражение $x^2 - xy + \frac{2}{7}y^2$ положительно при любых не равных нулю значениях $x$ и $y$, преобразуем его методом выделения полного квадрата.

Рассмотрим данное выражение как квадратный трехчлен относительно переменной $x$. Представим член $-xy$ как удвоенное произведение: $-2 \cdot x \cdot \frac{y}{2}$.

$x^2 - xy + \frac{2}{7}y^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{y}{2} + \frac{2}{7}y^2$

Для создания полного квадрата вида $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ нам не хватает слагаемого $(\frac{y}{2})^2 = \frac{y^2}{4}$. Добавим и вычтем это слагаемое:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{y}{2} + (\frac{y}{2})^2 - (\frac{y}{2})^2 + \frac{2}{7}y^2$

Теперь сгруппируем первые три члена, которые образуют полный квадрат, и приведем подобные слагаемые для оставшихся членов:

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{y}{2} + \frac{y^2}{4}) + (-\frac{y^2}{4} + \frac{2}{7}y^2) = (x - \frac{y}{2})^2 + y^2(-\frac{1}{4} + \frac{2}{7})$

Вычислим значение в скобках:

$-\frac{1}{4} + \frac{2}{7} = -\frac{7}{28} + \frac{8}{28} = \frac{1}{28}$

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде:

$ (x - \frac{y}{2})^2 + \frac{1}{28}y^2$

Проанализируем полученную сумму. Она состоит из двух слагаемых:

Первое слагаемое, $(x - \frac{y}{2})^2$, является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $(x - \frac{y}{2})^2 \ge 0$ при любых значениях $x$ и $y$.

Второе слагаемое, $\frac{1}{28}y^2$. По условию задачи, $y \ne 0$, следовательно, $y^2 > 0$. Так как $\frac{1}{28}$ — положительное число, то произведение $\frac{1}{28}y^2$ также будет строго положительным: $\frac{1}{28}y^2 > 0$.

Сумма неотрицательного числа (первого слагаемого) и строго положительного числа (второго слагаемого) всегда является строго положительным числом. Следовательно, $(x - \frac{y}{2})^2 + \frac{1}{28}y^2 > 0$.

Это доказывает, что значение выражения $x^2 - xy + \frac{2}{7}y^2$ положительно при любых значениях $x$ и $y$, не равных 0.

Ответ: Утверждение доказано. Выражение $x^2 - xy + \frac{2}{7}y^2$ можно представить в виде суммы $(x - \frac{y}{2})^2 + \frac{1}{28}y^2$. Так как при $y \ne 0$ первое слагаемое неотрицательно, а второе строго положительно, их сумма всегда строго положительна.

842. Упростить выражение $ (3^{16} + 1)(3^8 + 1)(3^4 + 1)(3^2 + 1)(3 + 1) $.

Для упрощения данного выражения воспользуемся методом, основанным на формуле разности квадратов: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

Обозначим исходное выражение как $A$:
$A = (3^{16} + 1)(3^8 + 1)(3^4 + 1)(3^2 + 1)(3 + 1)$

Чтобы последовательно применять формулу разности квадратов, нам не хватает множителя $(3-1)$. Умножим и разделим выражение на $(3-1)$. Поскольку $3-1 = 2$, это преобразование не изменит значение исходного выражения.

$A = \frac{(3-1)(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)}{3-1}$

Теперь будем последовательно "сворачивать" произведение в числителе, используя формулу разности квадратов.

1. Начнем с первых двух множителей в числителе: $(3-1)(3+1) = 3^2 - 1^2 = 3^2 - 1$.
Выражение принимает вид:
$A = \frac{(3^2-1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)}{2}$

2. Теперь объединяем следующие два множителя: $(3^2-1)(3^2+1) = (3^2)^2 - 1^2 = 3^4-1$.
Выражение принимает вид:
$A = \frac{(3^4-1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)}{2}$

3. Продолжая аналогично: $(3^4-1)(3^4+1) = (3^4)^2 - 1^2 = 3^8-1$.
$A = \frac{(3^8-1)(3^8+1)(3^{16}+1)}{2}$

4. Следующий шаг: $(3^8-1)(3^8+1) = (3^8)^2 - 1^2 = 3^{16}-1$.
$A = \frac{(3^{16}-1)(3^{16}+1)}{2}$

5. И последний шаг: $(3^{16}-1)(3^{16}+1) = (3^{16})^2 - 1^2 = 3^{32}-1$.

После всех преобразований в числителе остается $3^{32}-1$. Таким образом, получаем окончательный результат:

$A = \frac{3^{32}-1}{2}$

Ответ: $\frac{3^{32}-1}{2}$