Номер 828, страница 267 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 828, страница 267.

Условие.

828. Найти последнюю цифру числа:

1) $32^{365} + 43^{241}$;

2) $27^{358} + 53^{275}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Для нахождения последней цифры числа, являющегося суммой двух степеней, необходимо найти последнюю цифру каждого слагаемого, а затем найти последнюю цифру их суммы. Последняя цифра степени числа определяется только последней цифрой его основания. Мы будем использовать свойство цикличности последних цифр при возведении в степень.

1) Найдем последнюю цифру числа $32^{365} + 43^{241}$.

Сначала найдем последнюю цифру слагаемого $32^{365}$. Она совпадает с последней цифрой числа $2^{365}$. Рассмотрим, как меняются последние цифры степеней числа 2:

$2^1 = 2$
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
$2^4 = 16$ (последняя цифра 6)
$2^5 = 32$ (последняя цифра 2)

Последние цифры степеней двойки повторяются с циклом длиной 4: (2, 4, 8, 6). Чтобы определить, какая из этих цифр будет последней для $2^{365}$, найдем остаток от деления показателя степени 365 на длину цикла 4.

$365 \div 4 = 91$ с остатком 1 ($365 = 4 \cdot 91 + 1$).

Остаток 1 означает, что последняя цифра будет такой же, как у первого члена цикла, то есть 2.

Теперь найдем последнюю цифру слагаемого $43^{241}$. Она совпадает с последней цифрой числа $3^{241}$. Рассмотрим последние цифры степеней числа 3:

$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$ (последняя цифра 7)
$3^4 = 81$ (последняя цифра 1)
$3^5 = 243$ (последняя цифра 3)

Последние цифры степеней тройки повторяются с циклом длиной 4: (3, 9, 7, 1). Найдем остаток от деления 241 на 4.

$241 \div 4 = 60$ с остатком 1 ($241 = 4 \cdot 60 + 1$).

Остаток 1 означает, что последняя цифра будет такой же, как у первого члена цикла, то есть 3.

Чтобы найти последнюю цифру исходной суммы, сложим найденные последние цифры: $2 + 3 = 5$.

Ответ: 5

2) Найдем последнюю цифру числа $27^{358} + 53^{275}$.

Найдем последнюю цифру слагаемого $27^{358}$. Она совпадает с последней цифрой числа $7^{358}$. Рассмотрим последние цифры степеней числа 7:

$7^1 = 7$
$7^2 = 49$ (последняя цифра 9)
$7^3 = 343$ (последняя цифра 3)
$7^4 = 2401$ (последняя цифра 1)
$7^5 = 16807$ (последняя цифра 7)

Последние цифры степеней семерки повторяются с циклом длиной 4: (7, 9, 3, 1). Найдем остаток от деления показателя степени 358 на 4.

$358 \div 4 = 89$ с остатком 2 ($358 = 4 \cdot 89 + 2$).

Остаток 2 означает, что последняя цифра будет такой же, как у второго члена цикла, то есть 9.

Далее найдем последнюю цифру слагаемого $53^{275}$. Она совпадает с последней цифрой числа $3^{275}$. Мы уже знаем, что цикл последних цифр для степеней тройки равен 4: (3, 9, 7, 1). Найдем остаток от деления 275 на 4.

$275 \div 4 = 68$ с остатком 3 ($275 = 4 \cdot 68 + 3$).

Остаток 3 означает, что последняя цифра будет такой же, как у третьего члена цикла, то есть 7.

Теперь сложим найденные последние цифры: $9 + 7 = 16$. Последняя цифра числа 16 – это 6.

Ответ: 6