Номер 824, страница 266 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры VII класса - номер 824, страница 266.

Условие.

824. Крестьянин менял зайцев на кур: брал за всяких двух зайцев по три курицы. Каждая курица снесла яйца — $\frac{1}{3}$ часть от числа всех куриц. Крестьянин, продавая яйца, брал за каждые 9 яиц по столько копеек, сколько каждая курица снесла яиц, и выручил 72 копейки. Сколько было кур и сколько зайцев?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $K$ — это количество кур, а $Z$ — количество зайцев.

Сначала определим количество кур, исходя из информации о продаже яиц.
1. Каждая курица снесла количество яиц, равное трети от общего числа кур. Следовательно, количество яиц от одной курицы составляет $ \frac{K}{3} $.
2. Общее количество яиц, снесенных всеми курицами, равно произведению числа кур на количество яиц от одной курицы: $ K \times \frac{K}{3} = \frac{K^2}{3} $.
3. Крестьянин продавал яйца партиями по 9 штук. Цена одной такой партии в копейках была равна количеству яиц, которое снесла одна курица, то есть $ \frac{K}{3} $ копеек.

Общая выручка от продажи всех яиц составила 72 копейки. Она вычисляется как произведение количества проданных партий яиц на цену одной партии.

Количество партий по 9 яиц равно общему количеству яиц, деленному на 9:

Количество партий = $ \frac{\text{Общее количество яиц}}{9} = \frac{K^2/3}{9} = \frac{K^2}{27} $.

Составим уравнение для общей выручки:

$ (\text{Количество партий}) \times (\text{Цена за партию}) = 72 $

$ \frac{K^2}{27} \times \frac{K}{3} = 72 $

Упростим левую часть уравнения:

$ \frac{K^3}{81} = 72 $

Теперь решим это уравнение относительно $K$:

$ K^3 = 72 \times 81 $

Чтобы найти кубический корень, разложим числа 72 и 81 на простые множители:

$ 72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2 $

$ 81 = 3^4 $

Подставим разложение в уравнение:

$ K^3 = (2^3 \times 3^2) \times 3^4 = 2^3 \times 3^6 $

Извлечем кубический корень из обеих частей:

$ K = \sqrt[3]{2^3 \times 3^6} = 2^{3/3} \times 3^{6/3} = 2^1 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18 $.

Таким образом, у крестьянина было 18 кур.

Теперь, зная количество кур, найдем количество зайцев. По условию, крестьянин менял 2 зайцев на 3 курицы. Это устанавливает следующую пропорцию между количеством зайцев ($Z$) и количеством кур ($K$):

$ \frac{Z}{K} = \frac{2}{3} $

Подставим известное значение $K=18$ в эту пропорцию:

$ \frac{Z}{18} = \frac{2}{3} $

Отсюда найдем $Z$:

$ Z = 18 \times \frac{2}{3} = 12 $.

Следовательно, у крестьянина было 12 зайцев.

Ответ: у крестьянина было 18 кур и 12 зайцев.