Номер 820, страница 265 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

820. (Задача Авиценны.) Доказать, что если число, будучи разделено на 9, даёт в остатке 1 или 8, то квадрат этого числа, делённый на 9, даёт в остатке 1.

Для доказательства этого утверждения необходимо рассмотреть два случая, описанные в условии задачи. Пусть $N$ — данное число.

Случай 1: Число при делении на 9 дает в остатке 1

Если число $N$ при делении на 9 дает в остатке 1, то его можно представить в виде: $N = 9k + 1$, где $k$ — некоторое целое число (неполное частное).

Теперь найдем квадрат этого числа, $N^2$. Используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, получаем: $N^2 = (9k + 1)^2 = (9k)^2 + 2 \cdot 9k \cdot 1 + 1^2 = 81k^2 + 18k + 1$.

Чтобы найти остаток от деления $N^2$ на 9, преобразуем полученное выражение, вынеся общий множитель 9 за скобки: $N^2 = 9 \cdot (9k^2) + 9 \cdot (2k) + 1 = 9(9k^2 + 2k) + 1$.

Обозначим выражение в скобках как $m = 9k^2 + 2k$. Поскольку $k$ является целым числом, то $m$ также будет целым числом. Тогда выражение для $N^2$ принимает вид: $N^2 = 9m + 1$.

Эта запись по определению деления с остатком означает, что при делении $N^2$ на 9 получается частное $m$ и остаток 1.

Ответ: если число при делении на 9 дает в остатке 1, то его квадрат при делении на 9 дает в остатке 1.

Случай 2: Число при делении на 9 дает в остатке 8

Если число $N$ при делении на 9 дает в остатке 8, то его можно представить в виде: $N = 9k + 8$, где $k$ — некоторое целое число.

Возведем это число в квадрат: $N^2 = (9k + 8)^2 = (9k)^2 + 2 \cdot 9k \cdot 8 + 8^2 = 81k^2 + 144k + 64$.

Чтобы найти остаток от деления $N^2$ на 9, преобразуем это выражение. Первые два слагаемых, $81k^2$ и $144k$, очевидно делятся на 9 (так как $81 = 9 \cdot 9$ и $144 = 9 \cdot 16$). Рассмотрим третье слагаемое, 64, и найдем его остаток от деления на 9: $64 = 63 + 1 = 9 \cdot 7 + 1$.

Подставим это в выражение для $N^2$: $N^2 = 81k^2 + 144k + (9 \cdot 7 + 1)$.

Теперь вынесем общий множитель 9 за скобки для всех слагаемых, которые на него делятся: $N^2 = 9 \cdot (9k^2) + 9 \cdot (16k) + 9 \cdot 7 + 1 = 9(9k^2 + 16k + 7) + 1$.

Обозначим выражение в скобках как $p = 9k^2 + 16k + 7$. Так как $k$ — целое число, $p$ также будет целым числом. Тогда мы получаем: $N^2 = 9p + 1$.

Эта запись означает, что при делении $N^2$ на 9 получается частное $p$ и остаток 1.

Ответ: если число при делении на 9 дает в остатке 8, то его квадрат при делении на 9 дает в остатке 1.

Таким образом, мы рассмотрели оба возможных случая и в каждом из них доказали, что квадрат числа при делении на 9 дает в остатке 1. Утверждение доказано.