Номер 814, страница 264 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры VII класса - номер 814, страница 264.

Условие.

814. Велосипедист прибыл из пункта А в пункт В в назначенное время, двигаясь с определенной скоростью. Если бы он увеличил эту скорость на 3 км/ч, то прибыл бы к месту назначения на час раньше срока, а если бы он проезжал в час на 2 км меньше, чем в действительности, то он опоздал бы на час. Определить расстояние между А и В, скорость велосипедиста и время его движения.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения задачи введем следующие переменные:

• $s$ – искомое расстояние между пунктами А и В (в км).
• $v$ – искомая первоначальная скорость велосипедиста (в км/ч).
• $t$ – искомое первоначальное время движения (в часах).

Основное соотношение между этими величинами описывается формулой: $s = v \cdot t$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

Условие 1: Если бы велосипедист увеличил скорость на 3 км/ч, то есть его скорость стала бы $(v+3)$ км/ч, он прибыл бы на 1 час раньше, то есть затратил бы $(t-1)$ час. Расстояние при этом не изменилось бы.

Получаем уравнение: $s = (v+3)(t-1)$.

Подставим $s = v \cdot t$ и раскроем скобки:

$v \cdot t = (v+3)(t-1)$

$vt = vt - v + 3t - 3$

Приведем подобные члены:

$0 = -v + 3t - 3$

Отсюда выразим $v$:

$v = 3t - 3$ (1)

Условие 2: Если бы велосипедист ехал на 2 км/ч медленнее, то есть его скорость стала бы $(v-2)$ км/ч, он опоздал бы на 1 час, то есть затратил бы $(t+1)$ час.

Получаем второе уравнение: $s = (v-2)(t+1)$.

Подставим $s = v \cdot t$ и раскроем скобки:

$v \cdot t = (v-2)(t+1)$

$vt = vt + v - 2t - 2$

Приведем подобные члены:

$0 = v - 2t - 2$

Отсюда также выразим $v$:

$v = 2t + 2$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными $v$ и $t$. Приравняем правые части этих уравнений, так как их левые части равны $v$:

$3t - 3 = 2t + 2$

Решим полученное уравнение, чтобы найти время $t$:

$3t - 2t = 2 + 3$

$t = 5$

Итак, первоначальное время в пути составляет 5 часов.

Теперь найдем первоначальную скорость $v$, подставив значение $t=5$ в уравнение (2):

$v = 2t + 2 = 2 \cdot 5 + 2 = 10 + 2 = 12$

Итак, первоначальная скорость велосипедиста была 12 км/ч.

Наконец, вычислим расстояние $s$ между пунктами А и В:

$s = v \cdot t = 12 \text{ км/ч} \cdot 5 \text{ ч} = 60 \text{ км}$

Таким образом, мы нашли все искомые величины. Теперь представим ответ по пунктам в соответствии с вопросом.

Расстояние между А и В

Расстояние между пунктами А и В составляет 60 км.

Ответ: 60 км.

Скорость велосипедиста

Первоначальная скорость велосипедиста равна 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч.

Время его движения

Первоначальное время движения велосипедиста равно 5 часам.

Ответ: 5 часов.