Номер 810, страница 263 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

810. 1) $a^2 - 2a - 3;$

2) $b^2 - 7b + 12;$

3) $a^3 + a^2 - 12;$

4) $x^3 - 7x + 6;$

5) $m^2 - 7m + 10;$

6) $m^2 - m - 2.$

1) Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $a^2 - 2a - 3$, нужно решить квадратное уравнение $a^2 - 2a - 3 = 0$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.
Найдем корни уравнения по формуле $a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$a_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$
$a_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = -1$
Разложение квадратного трехчлена имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$. В нашем случае получаем:
$a^2 - 2a - 3 = (a - 3)(a - (-1)) = (a - 3)(a + 1)$.
Ответ: $(a - 3)(a + 1)$.

2) Чтобы разложить на множители $b^2 - 7b + 12$, решим уравнение $b^2 - 7b + 12 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней равна коэффициенту при $b$, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
$b_1 + b_2 = 7$
$b_1 \cdot b_2 = 12$
Подбором находим корни: $b_1 = 3$ и $b_2 = 4$.
Следовательно, разложение на множители имеет вид:
$b^2 - 7b + 12 = (b - 3)(b - 4)$.
Ответ: $(b - 3)(b - 4)$.

3) Для разложения многочлена $a^3 + a^2 - 12$ на множители найдем один из его корней подбором среди целых делителей свободного члена (-12): $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12$.
Проверим $a=2$: $2^3 + 2^2 - 12 = 8 + 4 - 12 = 0$. Значит, $a=2$ является корнем, и многочлен делится на $(a - 2)$.
Чтобы найти второй множитель, выполним преобразование, используя метод группировки. Представим многочлен в виде, удобном для выделения общего множителя $(a - 2)$:
$a^3 + a^2 - 12 = (a^3 - 8) + (a^2 - 4)$
Применим формулы разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$ и разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$(a - 2)(a^2 + 2a + 4) + (a - 2)(a + 2)$
Вынесем общий множитель $(a - 2)$ за скобки:
$(a - 2)((a^2 + 2a + 4) + (a + 2)) = (a - 2)(a^2 + 3a + 6)$.
Проверим, можно ли разложить на множители квадратный трехчлен $a^2 + 3a + 6$. Его дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 = -15 < 0$, следовательно, у него нет действительных корней, и он не раскладывается на линейные множители.
Ответ: $(a - 2)(a^2 + 3a + 6)$.

4) Для разложения многочлена $x^3 - 7x + 6$ найдем один из его корней подбором среди целых делителей свободного члена 6: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.
Проверим $x=1$: $1^3 - 7 \cdot 1 + 6 = 1 - 7 + 6 = 0$. Значит, $x=1$ является корнем, и многочлен делится на $(x - 1)$.
Выполним преобразование методом группировки:
$x^3 - 7x + 6 = x^3 - x - 6x + 6 = x(x^2 - 1) - 6(x - 1) = x(x - 1)(x + 1) - 6(x - 1)$
Вынесем общий множитель $(x - 1)$ за скобки:
$(x - 1)(x(x + 1) - 6) = (x - 1)(x^2 + x - 6)$
Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + x - 6$. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение -6. Корни равны 2 и -3.
$x^2 + x - 6 = (x - 2)(x - (-3)) = (x - 2)(x + 3)$.
Окончательное разложение:
$x^3 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 2)(x + 3)$.
Ответ: $(x - 1)(x - 2)(x + 3)$.

5) Чтобы разложить на множители $m^2 - 7m + 10$, решим уравнение $m^2 - 7m + 10 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета:
$m_1 + m_2 = 7$
$m_1 \cdot m_2 = 10$
Подбором находим корни: $m_1 = 2$ и $m_2 = 5$.
Следовательно, разложение на множители имеет вид:
$m^2 - 7m + 10 = (m - 2)(m - 5)$.
Ответ: $(m - 2)(m - 5)$.

6) Чтобы разложить на множители $m^2 - m - 2$, решим квадратное уравнение $m^2 - m - 2 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.
Найдем корни уравнения:
$m_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$
$m_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1$
Разложение имеет вид:
$m^2 - m - 2 = (m - 2)(m - (-1)) = (m - 2)(m + 1)$.
Ответ: $(m - 2)(m + 1)$.