Номер 809, страница 263 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

809. 1) $4ab^2 + 15abc - 4bcd - 15c^2d;$

2) $m^3 - m^2 + m - 1;$

3) $a^2 + b^2 - c^2 + 2ab;$

4) $(a + 3)^2 - 6(a + 3) + 9;$

5) $(m - 1)(m^2 - 7m) + (m - 1)(5m + 1);$

6) $1 + 2ab - a^2 - b^2.$

1) Для разложения на множители выражения $4ab^2 + 15abc - 4bcd - 15c^2d$ используем метод группировки слагаемых. Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым:

$4ab^2 + 15abc - 4bcd - 15c^2d = (4ab^2 - 4bcd) + (15abc - 15c^2d)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $4b$, а во второй группе вынесем за скобки общий множитель $15c$:

$4b(ab - cd) + 15c(ab - cd)$

Теперь мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель $(ab - cd)$. Вынесем его за скобки:

$(ab - cd)(4b + 15c)$

Ответ: $(ab - cd)(4b + 15c)$

2) Для разложения на множители выражения $m^3 - m^2 + m - 1$ также используем метод группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два:

$(m^3 - m^2) + (m - 1)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $m^2$:

$m^2(m - 1) + 1(m - 1)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(m - 1)$:

$(m - 1)(m^2 + 1)$

Ответ: $(m - 1)(m^2 + 1)$

3) В выражении $a^2 + b^2 - c^2 + 2ab$ перегруппируем слагаемые, чтобы выделить формулу квадрата суммы. Слагаемые $a^2$, $b^2$ и $2ab$ образуют полный квадрат.

$(a^2 + 2ab + b^2) - c^2$

Применим формулу квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$:

$(a + b)^2 - c^2$

Получившееся выражение является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. В нашем случае $x = a+b$ и $y = c$:

$((a + b) - c)((a + b) + c) = (a + b - c)(a + b + c)$

Ответ: $(a + b - c)(a + b + c)$

4) Выражение $(a + 3)^2 - 6(a + 3) + 9$ является полным квадратом. Для удобства можно сделать замену переменной. Пусть $x = a + 3$. Тогда выражение примет вид:

$x^2 - 6x + 9$

Это выражение является квадратом разности по формуле $y^2 - 2yz + z^2 = (y-z)^2$, где $y=x$ и $z=3$:

$(x - 3)^2$

Теперь вернемся к исходной переменной, подставив $x = a + 3$ обратно:

$((a + 3) - 3)^2 = (a)^2 = a^2$

Ответ: $a^2$

5) В выражении $(m - 1)(m^2 - 7m) + (m - 1)(5m + 1)$ есть общий множитель $(m - 1)$, который можно вынести за скобки:

$(m - 1)((m^2 - 7m) + (5m + 1))$

Упростим выражение во второй скобке, приведя подобные слагаемые:

$(m - 1)(m^2 - 7m + 5m + 1) = (m - 1)(m^2 - 2m + 1)$

Выражение во второй скобке $m^2 - 2m + 1$ является полным квадратом разности $(m - 1)^2$:

$(m - 1)(m - 1)^2 = (m - 1)^3$

Ответ: $(m - 1)^3$

6) В выражении $1 + 2ab - a^2 - b^2$ вынесем знак минус за скобки у последних трех слагаемых, чтобы выделить формулу квадрата суммы, но с отрицательным знаком:

$1 - (a^2 - 2ab + b^2)$

Выражение в скобках $a^2 - 2ab + b^2$ является полным квадратом разности $(a - b)^2$:

$1 - (a - b)^2$

Теперь мы имеем разность квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=1$ и $y = a - b$:

$(1 - (a - b))(1 + (a - b))$

Раскроем внутренние скобки:

$(1 - a + b)(1 + a - b)$

Ответ: $(1 - a + b)(1 + a - b)$