Номер 803, страница 262 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры VII класса - номер 803, страница 262.

Условие.

803. 1) При каких значениях $k$ и $b$ график функции $y = kx + b$ проходит через точки $(-1; 1)$, $(2; -3)$?

2) Проходит ли график функции $y = -2x - 1$ через точку $(-3; 5)$? $(-1; 2)$?

3) Построить график функции $y = -2x - 1$. Найти координаты точек пересечения графика с осями координат.

4) При каком значении $x$ значение функции $y = -2x - 1$ равно нулю?

5) Указать несколько целых значений $x$, при которых значения функции $y = -2x - 1$ положительны (отрицательны).

6) Найти координаты точки пересечения графика функции $y = -2x - 1$ с графиком функции $y = 5$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

1) Чтобы график функции $y = kx + b$ проходил через заданные точки, их координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим координаты точек $(-1; 1)$ и $(2; -3)$ в уравнение $y = kx + b$ и получим систему из двух уравнений.

Для точки $(-1; 1)$:

$1 = k \cdot (-1) + b$

$1 = -k + b$

Для точки $(2; -3)$:

$-3 = k \cdot 2 + b$

$-3 = 2k + b$

Теперь решим получившуюся систему уравнений:

$\begin{cases} b - k = 1 \\ b + 2k = -3 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(b + 2k) - (b - k) = -3 - 1$

$3k = -4$

$k = -\frac{4}{3}$

Теперь найдем $b$, подставив значение $k$ в первое уравнение $b - k = 1$:

$b - (-\frac{4}{3}) = 1$

$b + \frac{4}{3} = 1$

$b = 1 - \frac{4}{3} = \frac{3}{3} - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$

Ответ: $k = -\frac{4}{3}$, $b = -\frac{1}{3}$.

2) Чтобы проверить, проходит ли график функции $y = -2x - 1$ через точку, нужно подставить координаты точки в уравнение. Если получится верное равенство, то точка принадлежит графику.

Проверка для точки $(-3; 5)$:

Подставляем $x = -3$ и $y = 5$:

$5 = -2(-3) - 1$

$5 = 6 - 1$

$5 = 5$

Равенство верное, значит, график проходит через точку $(-3; 5)$.

Проверка для точки $(-1; 2)$:

Подставляем $x = -1$ и $y = 2$:

$2 = -2(-1) - 1$

$2 = 2 - 1$

$2 = 1$

Равенство неверное, значит, график не проходит через точку $(-1; 2)$.

Ответ: Через точку $(-3; 5)$ график проходит, а через точку $(-1; 2)$ — не проходит.

3) График функции $y = -2x - 1$ — это прямая линия. Для ее построения достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих графику. Удобнее всего найти точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью ординат (осью $Oy$):

В этой точке координата $x$ равна нулю. Подставим $x = 0$ в уравнение функции:

$y = -2(0) - 1 = -1$

Координаты точки пересечения с осью $Oy$: $(0; -1)$.

Пересечение с осью абсцисс (осью $Ox$):

В этой точке координата $y$ равна нулю. Подставим $y = 0$ в уравнение функции:

$0 = -2x - 1$

$2x = -1$

$x = -\frac{1}{2}$ или $-0.5$

Координаты точки пересечения с осью $Ox$: $(-\frac{1}{2}; 0)$.

Для построения графика нужно на координатной плоскости отметить точки $(0; -1)$ и $(-\frac{1}{2}; 0)$ и провести через них прямую.

Ответ: Координаты точек пересечения с осями: с осью $Oy$ — $(0; -1)$, с осью $Ox$ — $(-\frac{1}{2}; 0)$.

4) Чтобы найти значение $x$, при котором значение функции $y = -2x - 1$ равно нулю, нужно решить уравнение $y = 0$.

$-2x - 1 = 0$

$2x = -1$

$x = -\frac{1}{2}$

Ответ: $x = -\frac{1}{2}$.

5) Найдем, при каких значениях $x$ значения функции $y = -2x - 1$ положительны, то есть $y > 0$.

$-2x - 1 > 0$

$-2x > 1$

Разделим обе части на -2, изменив знак неравенства на противоположный:

$x < -\frac{1}{2}$

Целые значения $x$, удовлетворяющие этому условию: $-1, -2, -3, \dots$

Несколько целых значений $x$, при которых функция положительна: $-1, -2, -5$.

Теперь найдем, при каких значениях $x$ значения функции отрицательны, то есть $y < 0$.

$-2x - 1 < 0$

$-2x < 1$

$x > -\frac{1}{2}$

Целые значения $x$, удовлетворяющие этому условию: $0, 1, 2, \dots$

Несколько целых значений $x$, при которых функция отрицательна: $0, 1, 10$.

Ответ: Значения функции положительны, например, при $x \in \{-1, -2, -3\}$. Значения функции отрицательны, например, при $x \in \{0, 1, 2\}$.

6) Точка пересечения двух графиков имеет координаты, которые удовлетворяют уравнениям обеих функций. В данном случае это $y = -2x - 1$ и $y = 5$.

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссу ($x$) точки пересечения:

$-2x - 1 = 5$

$-2x = 5 + 1$

$-2x = 6$

$x = \frac{6}{-2} = -3$

Ордината ($y$) точки пересечения нам уже известна из второго уравнения: $y = 5$.

Таким образом, координаты точки пересечения — $(-3; 5)$.

Ответ: $(-3; 5)$.