Номер 800, страница 262 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

800. Поезд прошёл расстояние 63 км между двумя станциями за 1 ч 15 мин. Часть пути он шёл под уклон со скоростью 42 км/ч, а остальную горизонтальную часть пути поезд шёл со скоростью 56 км/ч. Сколько километров пути уложено под уклон?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это расстояние в километрах, которое поезд прошёл под уклон. Тогда оставшаяся часть пути, которую поезд шёл по горизонтальной местности, составляет $(63 - x)$ км.

Известно, что время движения ($t$) можно найти по формуле $t = S/v$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Скорость поезда под уклон составляла $v_1 = 42$ км/ч, следовательно, время, затраченное на этот участок, равно $t_1 = \frac{x}{42}$ часов.

Скорость поезда на горизонтальном участке была $v_2 = 56$ км/ч, значит, время, затраченное на него, равно $t_2 = \frac{63 - x}{56}$ часов.

Общее время в пути, согласно условию, составляет 1 час 15 минут. Переведем это время в часы:

$1 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 1 + \frac{15}{60} \text{ ч} = 1 + \frac{1}{4} \text{ ч} = 1.25 \text{ ч}$.

Сумма времени движения на двух участках равна общему времени в пути. Составим уравнение:

$t_1 + t_2 = 1.25$

$\frac{x}{42} + \frac{63 - x}{56} = 1.25$

Чтобы решить это уравнение, найдём общий знаменатель для дробей. Наименьшее общее кратное для чисел 42 и 56 — это 168. Умножим обе части уравнения на 168, чтобы избавиться от дробей:

$168 \cdot \left(\frac{x}{42}\right) + 168 \cdot \left(\frac{63 - x}{56}\right) = 168 \cdot 1.25$

Выполним вычисления:

$(168 / 42) \cdot x + (168 / 56) \cdot (63 - x) = 210$

$4x + 3(63 - x) = 210$

Теперь раскроем скобки и решим линейное уравнение:

$4x + 189 - 3x = 210$

$x + 189 = 210$

$x = 210 - 189$

$x = 21$

Таким образом, расстояние, которое поезд прошёл под уклон, составляет 21 км.

Для проверки правильности решения можно вычислить время, затраченное на каждый участок. Время на путь под уклон: $\frac{21 \text{ км}}{42 \text{ км/ч}} = 0.5$ часа. Расстояние на горизонтальном участке: $63 - 21 = 42$ км. Время на горизонтальном участке: $\frac{42 \text{ км}}{56 \text{ км/ч}} = 0.75$ часа. Общее время: $0.5 + 0.75 = 1.25$ часа, что соответствует 1 часу 15 минутам. Решение верное.

Ответ: 21 км.