Номер 797, страница 261 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

797. Решить систему уравнений:

1) $$\begin{cases}\frac{9x - y}{7} + 2y = 3 \\\frac{12x + 5y}{3} - 3x = 3\end{cases}$$

2) $$\begin{cases}\frac{11x + 3y}{9} - 3x = -5 \\\frac{14x - 9y}{11} + 5y = 8\end{cases}$$

3) $$\begin{cases}\frac{x + 5y}{2} + \frac{11x - 2y}{8} = \frac{2x - 4y + 6}{5} \\\frac{2x - 3y}{7} - \frac{y - 2x}{5} = \frac{2(9x + 7y)}{11}\end{cases}$$

1)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{9x-y}{7} + 2y = 3, \\ \frac{12x+5y}{3} - 3x = 3; \end{cases} $

Упростим каждое уравнение, избавившись от знаменателей.

Первое уравнение умножим на 7:

$ (9x-y) + 7 \cdot 2y = 3 \cdot 7 $

$ 9x - y + 14y = 21 $

$ 9x + 13y = 21 $

Второе уравнение умножим на 3:

$ (12x+5y) - 3 \cdot 3x = 3 \cdot 3 $

$ 12x + 5y - 9x = 9 $

$ 3x + 5y = 9 $

Получаем упрощенную систему:

$ \begin{cases} 9x + 13y = 21, \\ 3x + 5y = 9. \end{cases} $

Решим систему методом подстановки или сложения. Удобно использовать метод сложения. Умножим второе уравнение на -3, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными:

$ -3 \cdot (3x + 5y) = -3 \cdot 9 $

$ -9x - 15y = -27 $

Теперь сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:

$ (9x + 13y) + (-9x - 15y) = 21 + (-27) $

$ -2y = -6 $

$ y = 3 $

Подставим значение $y=3$ во второе упрощенное уравнение $3x + 5y = 9$:

$ 3x + 5 \cdot 3 = 9 $

$ 3x + 15 = 9 $

$ 3x = 9 - 15 $

$ 3x = -6 $

$ x = -2 $

Ответ: $x = -2, y = 3$.

2)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{11x+3y}{9} - 3x = -5, \\ \frac{14x-9y}{11} + 5y = 8; \end{cases} $

Упростим каждое уравнение.

Первое уравнение умножим на 9:

$ (11x+3y) - 9 \cdot 3x = -5 \cdot 9 $

$ 11x + 3y - 27x = -45 $

$ -16x + 3y = -45 $

Второе уравнение умножим на 11:

$ (14x-9y) + 11 \cdot 5y = 8 \cdot 11 $

$ 14x - 9y + 55y = 88 $

$ 14x + 46y = 88 $

Разделим второе уравнение на 2 для упрощения:

$ 7x + 23y = 44 $

Получаем систему:

$ \begin{cases} -16x + 3y = -45, \\ 7x + 23y = 44. \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 23, а второе на -3, чтобы избавиться от $y$:

$ \begin{cases} 23(-16x + 3y) = 23(-45) \\ -3(7x + 23y) = -3(44) \end{cases} \implies \begin{cases} -368x + 69y = -1035 \\ -21x - 69y = -132 \end{cases} $

Сложим два полученных уравнения:

$ (-368x + 69y) + (-21x - 69y) = -1035 - 132 $

$ -389x = -1167 $

$ x = \frac{-1167}{-389} $

$ x = 3 $

Подставим значение $x=3$ в уравнение $7x + 23y = 44$:

$ 7 \cdot 3 + 23y = 44 $

$ 21 + 23y = 44 $

$ 23y = 44 - 21 $

$ 23y = 23 $

$ y = 1 $

Ответ: $x = 3, y = 1$.

3)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x+5y}{2} + \frac{11x-2y}{8} = \frac{2x-4y+6}{5}, \\ \frac{2x-3y}{7} - \frac{y-2x}{5} = \frac{2(9x+7y)}{11}; \end{cases} $

Упростим каждое уравнение.

Для первого уравнения общий знаменатель 40. Умножим его на 40:

$ 20(x+5y) + 5(11x-2y) = 8(2x-4y+6) $

$ 20x + 100y + 55x - 10y = 16x - 32y + 48 $

$ 75x + 90y = 16x - 32y + 48 $

$ 75x - 16x + 90y + 32y = 48 $

$ 59x + 122y = 48 $

Для второго уравнения общий знаменатель $7 \cdot 5 \cdot 11 = 385$. Умножим его на 385:

$ 55(2x-3y) - 77(y-2x) = 35 \cdot 2(9x+7y) $

$ 110x - 165y - 77y + 154x = 70(9x+7y) $

$ 264x - 242y = 630x + 490y $

Перенесем все члены в одну сторону:

$ 0 = 630x - 264x + 490y + 242y $

$ 0 = 366x + 732y $

Разделим уравнение на 366:

$ 0 = x + 2y $

$ x = -2y $

Получаем систему:

$ \begin{cases} 59x + 122y = 48, \\ x = -2y. \end{cases} $

Решим систему методом подстановки. Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое:

$ 59(-2y) + 122y = 48 $

$ -118y + 122y = 48 $

$ 4y = 48 $

$ y = 12 $

Теперь найдем $x$:

$ x = -2y = -2 \cdot 12 = -24 $

Ответ: $x = -24, y = 12$.