Номер 791, страница 261 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

791. Если к числителю некоторой дроби прибавить 3, а знаменатель оставить без изменения, то получится 1; если к знаменателю исходной дроби прибавить 2, не меняя её числитель, то получится дробь, равная $\frac{1}{2}$. Найти исходную дробь.

Пусть числитель исходной дроби равен $x$, а знаменатель — $y$. Тогда искомая дробь имеет вид $\frac{x}{y}$.

Из условия задачи известно, что если к числителю прибавить 3, а знаменатель оставить без изменения, то получится 1. Составим первое уравнение:

$\frac{x + 3}{y} = 1$

Также известно, что если к знаменателю исходной дроби прибавить 2, не меняя числитель, то получится дробь, равная $\frac{1}{2}$. Составим второе уравнение:

$\frac{x}{y + 2} = \frac{1}{2}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} \frac{x + 3}{y} = 1 \\ \frac{x}{y + 2} = \frac{1}{2} \end{cases} $

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $x$ через $y$. Для этого умножим обе части уравнения на $y$ (при условии, что $y \neq 0$, что является обязательным для знаменателя дроби):

$x + 3 = y$

$x = y - 3$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$\frac{y - 3}{y + 2} = \frac{1}{2}$

Решим полученное уравнение относительно $y$, используя свойство пропорции (перекрестное умножение):

$2 \cdot (y - 3) = 1 \cdot (y + 2)$

$2y - 6 = y + 2$

Перенесем члены с $y$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$2y - y = 2 + 6$

$y = 8$

Мы нашли знаменатель исходной дроби. Теперь найдем числитель, подставив значение $y$ в ранее полученное выражение $x = y - 3$:

$x = 8 - 3 = 5$

Следовательно, исходная дробь равна $\frac{5}{8}$.

Выполним проверку:

1. Если к числителю прибавить 3: $\frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1$. Верно.

2. Если к знаменателю прибавить 2: $\frac{5}{8 + 2} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. Верно.

Ответ: $\frac{5}{8}$.