Номер 787, страница 260 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

787. 1) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{x}{5} + \frac{y}{2} = 5, \\ \frac{x}{4} - \frac{y}{5} = 0,5; \end{array} \right.$

2) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{2x}{3} - \frac{5y}{4} = -3, \\ \frac{5x}{6} - \frac{7y}{8} = -1; \end{array} \right.$

3) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{x+y}{3} + y = 9, \\ \frac{x-y}{3} - x = -4; \end{array} \right.$

4) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{x+y}{2} = \frac{1}{3}, \\ x - y = \frac{1}{2}. \end{array} \right.$

1)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x}{5} + \frac{y}{2} = 5 \\ \frac{x}{4} - \frac{y}{5} = 0,5 \end{cases} $

Для избавления от дробей в первом уравнении, умножим обе его части на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 2, то есть на 10:

$10 \cdot (\frac{x}{5} + \frac{y}{2}) = 10 \cdot 5$

$2x + 5y = 50$

Во втором уравнении умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 5, то есть на 20 (предварительно представив 0,5 как $\frac{1}{2}$):

$20 \cdot (\frac{x}{4} - \frac{y}{5}) = 20 \cdot 0,5$

$5x - 4y = 10$

Теперь система имеет вид:

$ \begin{cases} 2x + 5y = 50 \\ 5x - 4y = 10 \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 5, чтобы коэффициенты при y стали противоположными:

$4 \cdot (2x + 5y = 50) \implies 8x + 20y = 200$

$5 \cdot (5x - 4y = 10) \implies 25x - 20y = 50$

Сложим полученные уравнения:

$(8x + 20y) + (25x - 20y) = 200 + 50$

$33x = 250$

$x = \frac{250}{33}$

Подставим найденное значение x в уравнение $2x + 5y = 50$:

$2 \cdot (\frac{250}{33}) + 5y = 50$

$\frac{500}{33} + 5y = 50$

$5y = 50 - \frac{500}{33}$

$5y = \frac{1650 - 500}{33}$

$5y = \frac{1150}{33}$

$y = \frac{1150}{33 \cdot 5} = \frac{230}{33}$

Ответ: $(\frac{250}{33}; \frac{230}{33})$.

2)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{2x}{3} - \frac{5y}{4} = -3 \\ \frac{5x}{6} - \frac{7y}{8} = -1 \end{cases} $

Умножим первое уравнение на НОК(3, 4) = 12:

$12 \cdot (\frac{2x}{3} - \frac{5y}{4}) = 12 \cdot (-3)$

$4 \cdot 2x - 3 \cdot 5y = -36$

$8x - 15y = -36$

Умножим второе уравнение на НОК(6, 8) = 24:

$24 \cdot (\frac{5x}{6} - \frac{7y}{8}) = 24 \cdot (-1)$

$4 \cdot 5x - 3 \cdot 7y = -24$

$20x - 21y = -24$

Получили систему:

$ \begin{cases} 8x - 15y = -36 \\ 20x - 21y = -24 \end{cases} $

Решим методом сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на -2, чтобы избавиться от x:

$5 \cdot (8x - 15y = -36) \implies 40x - 75y = -180$

$-2 \cdot (20x - 21y = -24) \implies -40x + 42y = 48$

Сложим полученные уравнения:

$(40x - 75y) + (-40x + 42y) = -180 + 48$

$-33y = -132$

$y = \frac{-132}{-33} = 4$

Подставим $y=4$ в уравнение $8x - 15y = -36$:

$8x - 15 \cdot 4 = -36$

$8x - 60 = -36$

$8x = 24$

$x = 3$

Ответ: $(3; 4)$.

3)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x+y}{3} + y = 9 \\ \frac{x-y}{3} - x = -4 \end{cases} $

Упростим оба уравнения, умножив их на 3.

Первое уравнение:

$3 \cdot (\frac{x+y}{3} + y) = 3 \cdot 9$

$x + y + 3y = 27$

$x + 4y = 27$

Второе уравнение:

$3 \cdot (\frac{x-y}{3} - x) = 3 \cdot (-4)$

$x - y - 3x = -12$

$-2x - y = -12 \implies 2x + y = 12$

Получили систему:

$ \begin{cases} x + 4y = 27 \\ 2x + y = 12 \end{cases} $

Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим y:

$y = 12 - 2x$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x + 4(12 - 2x) = 27$

$x + 48 - 8x = 27$

$-7x = 27 - 48$

$-7x = -21$

$x = 3$

Теперь найдем y:

$y = 12 - 2 \cdot 3 = 12 - 6 = 6$

Ответ: $(3; 6)$.

4)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x+y}{2} = \frac{1}{3} \\ x - y = \frac{1}{2} \end{cases} $

Упростим первое уравнение, умножив обе части на 2:

$2 \cdot (\frac{x+y}{2}) = 2 \cdot \frac{1}{3}$

$x + y = \frac{2}{3}$

Теперь система имеет вид:

$ \begin{cases} x + y = \frac{2}{3} \\ x - y = \frac{1}{2} \end{cases} $

Это классическая система для решения методом сложения. Сложим два уравнения, чтобы найти x:

$(x + y) + (x - y) = \frac{2}{3} + \frac{1}{2}$

$2x = \frac{4}{6} + \frac{3}{6}$

$2x = \frac{7}{6}$

$x = \frac{7}{12}$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти y:

$(x + y) - (x - y) = \frac{2}{3} - \frac{1}{2}$

$2y = \frac{4}{6} - \frac{3}{6}$

$2y = \frac{1}{6}$

$y = \frac{1}{12}$

Ответ: $(\frac{7}{12}; \frac{1}{12})$.