Номер 788, страница 260 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

788. Решить графически систему уравнений:

1) $ \begin{cases} 2x + 5y = 1, \\ y = 1; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x + y = 2, \\ 2x + y = 0; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} 3x + 2y = 1, \\ 5x - 2y = 7; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} 4x - 5y - 7 = 0, \\ 2x - 8y + 2 = 0. \end{cases} $

1) Для графического решения системы уравнений необходимо построить графики для каждого уравнения и найти их точку пересечения. Координаты этой точки и будут решением системы.

Рассмотрим систему: $$ \begin{cases} 2x + 5y = 1, \\ y = 1; \end{cases} $$

Первое уравнение $2x + 5y = 1$ — это линейное уравнение, его график — прямая. Для ее построения найдем две точки.
Выразим $y$ через $x$: $5y = 1 - 2x$, то есть $y = \frac{1 - 2x}{5}$.
Если $x = -2$, то $y = \frac{1 - 2(-2)}{5} = \frac{5}{5} = 1$. Получаем точку $(-2, 1)$.
Если $x = 3$, то $y = \frac{1 - 2(3)}{5} = \frac{-5}{5} = -1$. Получаем точку $(3, -1)$.

Второе уравнение $y = 1$ — это прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через все точки с ординатой, равной 1.

Построив оба графика, мы увидим, что они пересекаются. Чтобы найти точку пересечения, можно подставить $y = 1$ из второго уравнения в первое:
$2x + 5(1) = 1$
$2x + 5 = 1$
$2x = -4$
$x = -2$
Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(-2, 1)$.

Ответ: $(-2, 1)$.

2) Рассмотрим систему: $$ \begin{cases} x + y = 2, \\ 2x + y = 0; \end{cases} $$

Построим график первого уравнения $x + y = 2$. Выразим $y$ через $x$: $y = 2 - x$.
Найдем две точки для построения прямой:
Если $x = 0$, то $y = 2$. Точка $(0, 2)$.
Если $x = 2$, то $y = 0$. Точка $(2, 0)$.

Построим график второго уравнения $2x + y = 0$. Выразим $y$ через $x$: $y = -2x$.
Найдем две точки для построения прямой:
Если $x = 0$, то $y = 0$. Точка $(0, 0)$.
Если $x = 1$, то $y = -2$. Точка $(1, -2)$.

Построив графики прямых $y = 2 - x$ и $y = -2x$ в одной системе координат, найдем их точку пересечения. Из графиков видно, что прямые пересекаются в точке с координатами $(-2, 4)$.
Проверим подстановкой:
$-2 + 4 = 2$ (верно)
$2(-2) + 4 = -4 + 4 = 0$ (верно)

Ответ: $(-2, 4)$.

3) Рассмотрим систему: $$ \begin{cases} 3x + 2y = 1, \\ 5x - 2y = 7; \end{cases} $$

Построим график первого уравнения $3x + 2y = 1$. Выразим $y$ через $x$: $2y = 1 - 3x$, то есть $y = \frac{1 - 3x}{2}$.
Найдем две точки:
Если $x = 1$, то $y = \frac{1 - 3}{2} = -1$. Точка $(1, -1)$.
Если $x = -1$, то $y = \frac{1 + 3}{2} = 2$. Точка $(-1, 2)$.

Построим график второго уравнения $5x - 2y = 7$. Выразим $y$ через $x$: $-2y = 7 - 5x$, то есть $y = \frac{5x - 7}{2}$.
Найдем две точки:
Если $x = 1$, то $y = \frac{5 - 7}{2} = -1$. Точка $(1, -1)$.
Если $x = 3$, то $y = \frac{15 - 7}{2} = 4$. Точка $(3, 4)$.

При нахождении точек для построения мы обнаружили, что точка $(1, -1)$ принадлежит обоим графикам. Это и есть точка их пересечения.

Ответ: $(1, -1)$.

4) Рассмотрим систему: $$ \begin{cases} 4x - 5y - 7 = 0, \\ 2x - 8y + 2 = 0. \end{cases} $$ Перепишем уравнения в более удобном виде: $$ \begin{cases} 4x - 5y = 7, \\ 2x - 8y = -2. \end{cases} $$ Второе уравнение можно упростить, разделив обе части на 2: $x - 4y = -1$.

Построим график первого уравнения $4x - 5y = 7$. Выразим $y$ через $x$: $5y = 4x - 7$, то есть $y = \frac{4x - 7}{5}$.
Найдем две точки:
Если $x = 3$, то $y = \frac{4(3) - 7}{5} = \frac{5}{5} = 1$. Точка $(3, 1)$.
Если $x = -2$, то $y = \frac{4(-2) - 7}{5} = \frac{-15}{5} = -3$. Точка $(-2, -3)$.

Построим график второго (упрощенного) уравнения $x - 4y = -1$. Выразим $y$ через $x$: $4y = x + 1$, то есть $y = \frac{x + 1}{4}$.
Найдем две точки:
Если $x = 3$, то $y = \frac{3+1}{4} = 1$. Точка $(3, 1)$.
Если $x = -1$, то $y = \frac{-1+1}{4} = 0$. Точка $(-1, 0)$.

Как и в предыдущем случае, мы нашли общую точку $(3, 1)$ при поиске координат для построения графиков. Эта точка является решением системы.

Ответ: $(3, 1)$.