Номер 785, страница 260 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

785. Найти координаты точки пересечения прямых:

1) $y=4x-6$ и $y=3x-2$;

2) $y=3x-1$ и $y=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}$.

1) Чтобы найти координаты точки пересечения прямых, необходимо решить систему уравнений, задающих эти прямые. В точке пересечения координаты $x$ и $y$ у обеих прямых совпадают.

Даны уравнения:

$y=4x-6$

$y=3x-2$

Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны ($y$):

$4x-6 = 3x-2$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$4x-3x = 6-2$

$x=4$

Мы нашли абсциссу (координату $x$) точки пересечения. Чтобы найти ординату (координату $y$), подставим найденное значение $x=4$ в любое из исходных уравнений. Например, во второе:

$y = 3x-2 = 3 \cdot 4 - 2 = 12 - 2 = 10$

Таким образом, координаты точки пересечения — $(4; 10)$.

Ответ: $(4; 10)$

2) Аналогично найдем точку пересечения для второй пары прямых.

Даны уравнения:

$y=3x-1$

$y=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}$

Приравняем правые части уравнений:

$3x-1 = -\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}$

Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения на 3:

$3 \cdot (3x-1) = 3 \cdot (-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3})$

$9x-3 = -5x+8$

Сгруппируем члены с $x$ в левой части, а константы — в правой:

$9x+5x = 8+3$

$14x = 11$

$x = \frac{11}{14}$

Теперь найдем ординату $y$, подставив значение $x$ в первое уравнение (оно проще для вычислений):

$y = 3x-1 = 3 \cdot \frac{11}{14} - 1 = \frac{33}{14} - 1$

Приведем к общему знаменателю:

$y = \frac{33}{14} - \frac{14}{14} = \frac{33-14}{14} = \frac{19}{14}$

Следовательно, координаты точки пересечения — $(\frac{11}{14}; \frac{19}{14})$.

Ответ: $(\frac{11}{14}; \frac{19}{14})$