Номер 778, страница 259 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

778. 1) $(a + 3)^2 + (a - 3)^2$;

2) $(4a + b)^2 - (4a - b)^2$;

3) $\left(2 - \frac{a}{b}\right)^2 - \frac{a^2}{b^2}$.

1) Для решения этого выражения воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ и квадратом разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Раскроем скобки в выражении $(a + 3)^2 + (a - 3)^2$ по отдельности:
$(a + 3)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = a^2 + 6a + 9$
$(a - 3)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = a^2 - 6a + 9$
Теперь сложим полученные выражения:
$(a^2 + 6a + 9) + (a^2 - 6a + 9) = a^2 + 6a + 9 + a^2 - 6a + 9$
Приведем подобные слагаемые:
$(a^2 + a^2) + (6a - 6a) + (9 + 9) = 2a^2 + 18$
Ответ: $2a^2 + 18$

2) Это выражение представляет собой разность квадратов, поэтому для упрощения воспользуемся формулой $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
В данном случае $x = 4a + b$ и $y = 4a - b$.
$(4a + b)^2 - (4a - b)^2 = ((4a + b) - (4a - b)) \cdot ((4a + b) + (4a - b))$
Упростим выражения в каждой из скобок:
В первой скобке: $4a + b - 4a + b = 2b$
Во второй скобке: $4a + b + 4a - b = 8a$
Теперь перемножим полученные результаты:
$2b \cdot 8a = 16ab$
Ответ: $16ab$

3) Для решения этого примера раскроем первую скобку, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В нашем выражении $x=2$ и $y=\frac{a}{b}$.
$(2 - \frac{a}{b})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \frac{a}{b} + (\frac{a}{b})^2 = 4 - \frac{4a}{b} + \frac{a^2}{b^2}$
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$(4 - \frac{4a}{b} + \frac{a^2}{b^2}) - \frac{a^2}{b^2}$
Сократим подобные члены. Выражения $\frac{a^2}{b^2}$ и $-\frac{a^2}{b^2}$ взаимно уничтожаются:
$4 - \frac{4a}{b} + \frac{a^2}{b^2} - \frac{a^2}{b^2} = 4 - \frac{4a}{b}$
Ответ: $4 - \frac{4a}{b}$