Номер 775, страница 258 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры VII класса - номер 775, страница 258.

Условие.

775. Выполнить умножение многочленов:

1) $ (a^2+3ab+b^2)(7a-5b) $;

2) $ (3a^2-6ab^2+2b^2)(4ab-1) $;

3) $ (a+3b-4c)(a-3b-4c) $;

4) $ (m+n-2)(m-n+2) $;

5) $ \left(\frac{1}{3}a^2b - \frac{2}{5}ab^2\right)(15a-30b) $;

6) $ \left(\frac{1}{2}a^2+4a+1\right)(3a-1) $.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

1) Для выполнения умножения многочленов $(a^2 + 3ab + b^2)$ и $(7a - 5b)$ необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и сложить полученные произведения.

$(a^2 + 3ab + b^2)(7a - 5b) = a^2 \cdot (7a - 5b) + 3ab \cdot (7a - 5b) + b^2 \cdot (7a - 5b)$

Раскрываем скобки:

$= (7a^3 - 5a^2b) + (21a^2b - 15ab^2) + (7ab^2 - 5b^3)$

Объединяем все слагаемые и приводим подобные:

$= 7a^3 - 5a^2b + 21a^2b - 15ab^2 + 7ab^2 - 5b^3$

$= 7a^3 + (-5 + 21)a^2b + (-15 + 7)ab^2 - 5b^3$

$= 7a^3 + 16a^2b - 8ab^2 - 5b^3$

Ответ: $7a^3 + 16a^2b - 8ab^2 - 5b^3$

2) Умножим многочлен $(3a^2 - 6ab^2 + 2b^2)$ на $(4ab - 1)$, распределяя каждый член первого многочлена на второй.

$(3a^2 - 6ab^2 + 2b^2)(4ab - 1) = 3a^2(4ab - 1) - 6ab^2(4ab - 1) + 2b^2(4ab - 1)$

Раскрываем скобки:

$= (3a^2 \cdot 4ab - 3a^2 \cdot 1) - (6ab^2 \cdot 4ab - 6ab^2 \cdot 1) + (2b^2 \cdot 4ab - 2b^2 \cdot 1)$

$= (12a^3b - 3a^2) - (24a^2b^3 - 6ab^2) + (8ab^3 - 2b^2)$

$= 12a^3b - 3a^2 - 24a^2b^3 + 6ab^2 + 8ab^3 - 2b^2$

В данном выражении нет подобных слагаемых. Упорядочим члены по степеням переменных для стандартного вида:

$-24a^2b^3 + 12a^3b + 8ab^3 + 6ab^2 - 3a^2 - 2b^2$

Ответ: $12a^3b - 24a^2b^3 + 8ab^3 + 6ab^2 - 3a^2 - 2b^2$

3) В выражении $(a + 3b - 4c)(a - 3b - 4c)$ можно заметить формулу разности квадратов. Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$((a - 4c) + 3b)((a - 4c) - 3b)$

Применим формулу $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x = a - 4c$ и $y = 3b$:

$= (a - 4c)^2 - (3b)^2$

Теперь раскроем скобки. Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$ для первого слагаемого:

$(a - 4c)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 4c + (4c)^2 = a^2 - 8ac + 16c^2$

Возведем в квадрат второе слагаемое:

$(3b)^2 = 9b^2$

Подставим полученные выражения обратно:

$a^2 - 8ac + 16c^2 - 9b^2$

Запишем в стандартном виде:

$a^2 - 9b^2 + 16c^2 - 8ac$

Ответ: $a^2 - 9b^2 + 16c^2 - 8ac$

4) В выражении $(m + n - 2)(m - n + 2)$ также можно применить формулу разности квадратов. Сгруппируем слагаемые:

$(m + (n - 2))(m - (n - 2))$

Здесь мы видим вид $(x+y)(x-y)$, где $x=m$ и $y=n-2$. Применим формулу $x^2 - y^2$:

$= m^2 - (n - 2)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$= m^2 - (n^2 - 2 \cdot n \cdot 2 + 2^2)$

$= m^2 - (n^2 - 4n + 4)$

Раскроем скобки, изменив знаки на противоположные:

$= m^2 - n^2 + 4n - 4$

Ответ: $m^2 - n^2 + 4n - 4$

5) Для умножения $(\frac{1}{3}a^2b - \frac{2}{5}ab^2)(15a - 30b)$ можно сначала вынести общий множитель из второй скобки:

$15a - 30b = 15(a - 2b)$

Теперь умножим число 15 на первую скобку, чтобы избавиться от дробей:

$15 \cdot (\frac{1}{3}a^2b - \frac{2}{5}ab^2) = (\frac{15}{3}a^2b - \frac{15 \cdot 2}{5}ab^2) = (5a^2b - 6ab^2)$

Теперь задача сводится к умножению $(5a^2b - 6ab^2)(a - 2b)$:

$= 5a^2b(a - 2b) - 6ab^2(a - 2b)$

$= (5a^3b - 10a^2b^2) - (6a^2b^2 - 12ab^3)$

$= 5a^3b - 10a^2b^2 - 6a^2b^2 + 12ab^3$

Приведем подобные слагаемые:

$= 5a^3b - 16a^2b^2 + 12ab^3$

Ответ: $5a^3b - 16a^2b^2 + 12ab^3$

6) Умножим многочлен $(\frac{1}{2}a^2 + 4a + 1)$ на $(3a - 1)$.

$(\frac{1}{2}a^2 + 4a + 1)(3a - 1) = \frac{1}{2}a^2(3a - 1) + 4a(3a - 1) + 1(3a - 1)$

Раскроем скобки:

$= (\frac{1}{2}a^2 \cdot 3a - \frac{1}{2}a^2 \cdot 1) + (4a \cdot 3a - 4a \cdot 1) + (3a - 1)$

$= \frac{3}{2}a^3 - \frac{1}{2}a^2 + 12a^2 - 4a + 3a - 1$

Приведем подобные слагаемые:

$= \frac{3}{2}a^3 + (-\frac{1}{2}a^2 + 12a^2) + (-4a + 3a) - 1$

$= \frac{3}{2}a^3 + (-\frac{1}{2}a^2 + \frac{24}{2}a^2) - a - 1$

$= \frac{3}{2}a^3 + \frac{23}{2}a^2 - a - 1$

Ответ: $\frac{3}{2}a^3 + \frac{23}{2}a^2 - a - 1$