Номер 768, страница 258 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

768. Катер прошёл расстояние между двумя пристанями по течению реки за 3 ч, а против течения реки за 4 ч. Каково расстояние между этими пристанями, если скорость течения реки $2 \text{ км/ч}$?

Для решения задачи введем переменные:

• $S$ — искомое расстояние между пристанями (в км),
• $v_{к}$ — собственная скорость катера, то есть скорость в стоячей воде (в км/ч),
• $v_{теч}$ — скорость течения реки, по условию $v_{теч} = 2$ км/ч.

Когда катер движется по течению, его скорость складывается из собственной скорости и скорости течения:

$v_{по} = v_{к} + v_{теч} = v_{к} + 2$ км/ч.

Когда катер движется против течения, его скорость равна разности собственной скорости и скорости течения:

$v_{против} = v_{к} - v_{теч} = v_{к} - 2$ км/ч.

Расстояние ($S$) равно произведению скорости на время ($t$). Мы можем составить два уравнения для расстояния $S$:

1. По течению катер прошел расстояние за 3 часа:

$S = v_{по} \cdot 3 = (v_{к} + 2) \cdot 3$

2. Против течения катер прошел то же расстояние за 4 часа:

$S = v_{против} \cdot 4 = (v_{к} - 2) \cdot 4$

Поскольку расстояние в обоих случаях одно и то же, мы можем приравнять правые части этих двух уравнений:

$(v_{к} + 2) \cdot 3 = (v_{к} - 2) \cdot 4$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти собственную скорость катера $v_{к}$. Раскроем скобки:

$3v_{к} + 6 = 4v_{к} - 8$

Перенесем слагаемые с переменной $v_{к}$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$6 + 8 = 4v_{к} - 3v_{к}$

$14 = v_{к}$

Итак, собственная скорость катера составляет 14 км/ч.

Теперь, когда мы знаем собственную скорость катера, мы можем найти расстояние $S$, подставив значение $v_{к}$ в любое из первоначальных уравнений для расстояния.

Возьмем первое уравнение:

$S = (14 + 2) \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48$ км.

Для проверки можно подставить значение во второе уравнение:

$S = (14 - 2) \cdot 4 = 12 \cdot 4 = 48$ км.

Оба вычисления дают один и тот же результат.

Ответ: расстояние между этими пристанями 48 км.